典型例题探讨 收获意外精彩.pdf

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1、2014年第1O期·解题秘笈·<1，所以+y≤，从而卅y有涪数外司典型例题探讨收获意外精彩——-一(2)当手时，外心。位于边BC的中点，所以Ao在和方向上分解时系数之和为1，即+y：1．江苏如皋市第一中学孙小龙(3)当0e(手，啊)时，外心位于角形ABc边BC的外侧，记A0与边BC交于D。同理可知>1，0∈例题：已知0为三角形ABC的外心，AB：2。，AC：互，(手，耵)可得：1-cosO：一丽1l，INNN~a·——————————=<1，所以≥，从而有最BAc=120。，0=A州C，则的最小值为一一、分解法iI,值_+‘．本题中最大角为C=120。，根据上述结论可知有最小值

2、为2·说明：一次不经意的探索，竟然发现了一个一般的结论，收获意料之外的惊喜。二、数量积法解析三：如图4，过外心0作AB的垂线．，垂足为．D，显然D为A曰的中点，所以AB·A0=AB‘(AD+DO)=4‘AD=c2，同理可得AC·A0：1b2；在A0=xAB+yAC两边同乘可得．『⋯一1C2=Xc：一bcy化简可得2一6y=：c①；同理在AO=xA／~+yAC两边同乘Ac．可得一c+2by=b②；由①②组成的方程组可得=，y=，从而++(奇+})≥}+2=2，当且仅当b=c时x+y取得最小值2．A磊解析四：翥如图5，以A为原点，以AB所在直线为轴，建立如图5所示的直角坐标系．则A

3、(0，0)，B(2a，0)，Cf一1，—v3—-1因为0为三角形ABC的外心，所以0在AB＼aa／图2图3的中垂线m：：。上，又在AC的中垂线n：y-：一解析二：为探索更一般的结论。不妨设角为A，记为0，根据上图2可知A所对的圆．中心晕角本为(i+去a)，上，联立方程组可得o(l。，一a+3Ja≥一)，，由条2，向量OB，Dc的夹角为2或2丌一2。由A0=xAB+C可得，A=【+)(+)整理可得(+y一1)OA件+可得＼j+1(2a，0)+y．Sa／=xOB+yOC，在等式两边同时平方可得(+y一1)+0=2一+2c0s2或cos(2,rr一20)，进一步可推出(x+y一1)=

4、Xf3y非互+x2+y2+2xycos20~(x+y)一2(+y)+l=；。+f+2xycos20~2xy-2一3。3，’。2(4y)十l=2xycos20~2xy(1一c0s2)：2(+y)一1~4xysinZO=2一：__33oa(+v)一1·．，，≤f半一)z，从而可得4sing0f)≥2()一y=62+争所以+y=争+31＼(a2)≥2当且仅当n：1时取1，jsin20(+，，)2_2(+'，)+l1>0，解不等式可得≥等粤。旦或+y≤L(当且仅当x=y即b=c时取巩固练习：1．己知0为三角形ABC的外心，AB=2，AC=I，鲋c=等号)．120~,若：+，，则m+肛—

5、—．(答案为)(1)当0∈f0，孚1时，外心位于三角形ABC内部，在2．已知0为锐角三角形ABC的外接圆的圆心，且图3中延长A0交BC于D，因为B、C、D三点共线，所以n—叶，一．Ad在~flM—C方向上分解时系数之和为1，从而+y1，同理可任编辑：章若昆)60