数学分析(二)试卷13.doc

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1、数学分析(二)试卷13(每小题5分，共15分)1、正交多项式2、正项级数的比较判别法3、上的基本列二、计算题：(每小题7分，共35分)1、^xtan2xdx汉计算丄盒如曲眄主值X丁‘4-(—9}n3、求工一(x+l)〃的收敛半径和收敛域4、设z=F+y2sin(xy),求函数的梯度5、求u=&2+y2+尹在(],],1)点的全微分三、讨论与验证题：(毎小题10分，共30分)(y2—X)21、讨论/(x,y)=,(x,y)(0,0),gy)沿任何直线趋于(0,0)时的极限y+兀_和函数的二重极限0012、讨论工的敛散

2、性“=2,2In'H3、讨论函数项fn(x)=nx(l-x2)n(0O,XH1),证明它满足方程兰亍+——亍=込ydxInxdy参考答案一、1、设｛glt（X）｝是定义在［d,切上的多项式，若对任意的加和〃，g,”（x），g“（x）在［a,切上可积,且有fg,“⑴g“O)dxn（、_仍则称｛久（兀）｝是［a,6上的正交多项式连续。OCS2、设

3、工兀，工儿是两个正项级数，若存在常数A>°，成立K，成立x｛-xk

4、42级数发散,所以级数的收敛域为［-亍丐）（3分）4^：—=2x+cos(xy)—=2ysin(A)0+xy^cos(xy)(4分)dx••dy••graclu=(2x+y3cos(q),2『sin(xy)+xy2cos(xy))(3分)5、u=丿u=丿/仁=/、’(4分)卜+y_+z_卜+y_+z_卜+y_+z_du~^=(dx+dy+dz)（3分）二、】、解、由于沿y"趋于°。）时，鳥％4^苦八，而沿y—趋于（0,0）时极限为0,所以重极限不存在（5分）2、函数点非负递减'（3分）且「亠=（1-小产J带川*In

5、lnxir分）由此仅卩>1,收敛（2分）。3limfn（x）=0=f（x）（3分）,取"Too兀=丄伉（兀“）一于（£）

6、=（1一丄）"T"T8），所以函数列不一致收敛（7分）ntT四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：由Riemann函数的性质,V£>0在［0,1］上使得R（x）>-的点至多只有有限个,（32分）不妨设是R个，记为0=P］v…v以=1作［0,1］的分点0=x0<1，而在右边的

7、第-个和式中，有叫肿守£k-且<1,在第二个和式屮有5—且工心2丿V1，因此得到工©Ai］v£，所2；=1/=i以函数可积（7分）2、证明:嚳*x”.丄乞工）竹+丄小"乂、lnx迦"g（6分）△乞+dyydxlnxdyy（4分）