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1、第九章解常微分方程初值问题4.改进Euler方法我们先用Euler公式求的一个初步的近似值，再用梯形公式将它校正一次,即按（5）迭代一次得这个结果称为校正值，这样建立的校正系统通常成为改进Euler公式.=yn+h/2（f（xn,yn）+f儿+〃*/（兀，儿）））⑹即迭代公式为：儿=儿+力5V（£，儿）,儿=儿+〃*/（兀+],儿J,儿+1•=£(儿+儿).改进Euler方法的误差估计:改进Euler方法局部截断误差是O（/?）,整体截断误差O（/,）•与梯形方法一样.例2.用改进Euler方法解例1的初值问题
2、，心0.1解：改进Euler公式为儿二儿+屮（儿一—），儿9r儿=儿+力*（儿—亠），儿儿+】•=£（儿+儿）计算结果如下表:兀“心）心）ef1=y(xn>y,t0.11.095909090909091.09544511501033-0.00050.21.1840965692430()1.18321595661992-0.00090.31.266201360875781.26491106406735-0.00130.41.343360151484()01.34164078649987-0.00180.51.41
3、6401928536911.41421356237310-0.00220.61.485955602415671.48323969741913-0.00280.71.552514091326151.54919333848297-0.00330.81.616474782752061.61245154965971-0.00400.91.678166363675191.67332005306815-0.00491.01.737867401035411.73205080756888-0.0058进过计算得岀改进Euler
4、法比Euler法明显改善了精度.上机实验⑷上机题目：贬值求一阶常微分方程的初值问题实验目的：掌握齐种Euler方法和梯形法。进过计算结果来分析四种方法的优缺点，掌握规律。分析结果。实验要求：用不同的方法来解同一个例子。%1上机前充分准备，复习有关内容，写出计算步骤，查对程序。②改进Euler法在Matlab环境中运算，并分析岀最好的方法，再给岀它的流程图。③实验结束后写出完整的实验报算法说明：①经过所给岀的方程组和初值初步改变方程组。%1由以上四种方法的计算公式來逐步计算y的每个值。%1最后为了方便比较列为表最
5、适合。上机例题：例1.后退Euler方法解初值问题,/?=()」y'=y・2x/y,0(x(1y(o)=iMatlab程序:function[x,y]=gaijing(f,xO,yO,a,b,n)h=(b-a)/n;fork=l:n+lx(k)=a+(k-l)*h;endy(I)=y0;fori=l:nyp=y(i)+h*subs(subs(f,x(i)),y(i));yc=y(i)+h*subs(subs(f,x(i+l)),yp);y(i+l)=(l⑵*(yp+yc);enddisp(sprintf(*if
6、ori=l:ndisp(sprintf(*%d%f%定义并计算步长%计算x(k)%山改进Euler的公式计算.x(i)%为了方便以规定格式先输出i,x(i),y(i).%f,i,x(i+l),y(i+l)));%为了方便观察结果在先输出的格式下输出结果s=y(i)；运行结果：[x,y]=gaijingCy-2*x/y',0,1,0,1,10)ix(i)y(i)10」000001.09590920.2000001.18409730.3000001.26620140.4000001.34336050.5000001
7、.41640260.6000001.48595670.7000001.55251480.8000001.61647590.9000001.678166101.0000001.737867改进Euler的流程图:流程图解释：1）输入®）d九最大循环次序N⑵'腻给n；3）把心+力腻给為（y+V）把儿+〃（兀（），儿）腻给儿，儿+妙（兀U，儿）腻给儿，」~7二~腻给）"4）输By｝；5）判断n是否等于N,若n=N,那么停止;否则到第6步；6）把M1赋给n,把州赋给x0，把％腻给儿到步骤3；上机结果分析：梯形方法是Eu
8、ler的校正，它比Euler方法好的多，改进Euler是梯形方法的校正。所以由计算结果表明在这四种方法中改进的Euler方法的计算结果比较精确，误差及小。所以改进的Euler方法是这四种方法中最好的一种。复习思考题1.为什么要研究微分方程数值解？本章主要研究的是怎样一类初值问题？2.何谓方法的阶与局部截断误差？3.何谓单步法、多步法？何谓显示公式、隐式公式？四阶龙格一库塔法属于哪一类？
