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《向量代数与空间解析几何基本概念.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§1 向量及其运算数量：只有大小，单用实数就可以表示的量。向量：既有大小，又有方向的量。考虑xy平面上的向量，几何上该向量可表示为xy平面上一有向线段。oxyQRQ：始点R：终点向量记为QR若将其平移，始点移至原点O，而其终点对应于平面上一个点P(x,y).oxyQRP(x,y)如此，平面上每一个向量都唯一确定了平面上的一个点P(x,y)；反之，平面上任意一点P(x,y)也唯一确定了平面上以O为始点，P为终点的一个向量.即平面向量与平面上的点是一一对应的.也即二元有序数组(x,y)表我们也称(x,y)为二维向量.示了平面上一向量，平面向量平面上点二元有序数组定义1由n
2、个数a1,a2,…,an所组成的有序数组=(a1,a2,…,an)称为n维向量.数a1,a2,…an称为向量的分量(坐标)，aj称为向量的第j个分量(坐标).一般地，我们用,,表示向量，a,b,c或x,y,z表示其分量.其它表示法u,v平行四边形法则一般可定义如下基本运算.问题：是否和数一样，可以对向量进行运算？回忆合力的运算.F1F2FF=F1+F2定义2设=(a1,a2,…,an),=(b1,b2,…,bn),为n维向量，可定义和运算：由此，可定义n维向量中两个典型向量：零向量0:满足+0=.由加法定义知：0=(0,0,…,0);负向量–：满足+(
3、–)=0.由加法定义知–=(–a1,–a2,…,–an).oxya1a2a2b2b1b1A几何上平行四边形法则(a1+b1,a2+b2)oxy+上图可简化为：三角形法则设=(a1,a2,…,an)为n维向量，定义3为实数.则向量(a1,a2,…,an),称为向量与数的乘积.记为==(a1,a2,…,an).运算规律:1.交换律+=+;++2.结合律(+)+=+(+);++++3.+0=;4.+(–)=0;5.1·=;6.数乘结合律==
4、；7.数乘对向量加法的分配律+=+；8.数乘对数加法的分配律(+=+.定义4.向量的减法：＝.例1.已知一平面向量,始点为Q(x1,y1),终点为R(x2,y2),求其对应之坐标(分量).解：oxyR(x2,y2)P(x,y)Q(x1,y1)由向量减法定义知.(x2,y2)–(x1,y1)(x2–x1,y2–y1)==一般有：设n维向量,始点为Q(a1,…,an),终点为R(b1,…,bn),则其坐标为(b1–a1,…,bn–an).OR–OQ=QR=OP=(x,y)故得QR=(x,y)=(x
5、2–x1,y2–y2).一、空间直角坐标系对于二维空间,我们引入相应直角坐标系的途径是通过平面一定点作两条互相垂直的数轴而成.对于三维空间,我们可类似地建立相应的空间直角坐标系,即过空间中一定点O,作三条互相垂直的数轴,它们以O为公共原点且具有相同的单位长度,这三条数轴分别称为x轴,y轴,z轴,都统称为数轴.数轴正向不同,可建立不同的直角坐标系.如0xyz0xyz0xzy0xyz为统一起见,我们用右手法则确定其正向.Oxyz主要名称与记号:1.坐标平面:三个坐标轴中任意两条坐标轴所确定的平面.xy平面,yz平面,zx平面.2.卦限:三个坐标平面将空间分为八个部分,每一部分叫做
6、一个卦限.IVVIVVII0xyVIIIIIIIIIz•点在各卦限中坐标的符号：III(,+,+)(+,+,+)III(,,+)IV(+,,+)V(+,+,)VI(,+,)VII(,,)VIII(+,,)3.空间点在空间直角坐标系中的表示法.RQPOxyzMxyz如此,记P,Q,R在x轴,y轴,z轴上的坐标依次为x,y,z.因此,点M一一对应于有序数组(x,y,z).4.点M的坐标点M(x,y,z)记为M(x,y,z)x,y,z称为M的坐标.横坐标纵坐标竖坐标5.三维向量与空间点的一一对应关系.点M一一对应(x,y,z)始点终点OM6.三维向量加法的
7、几何意义zxyozxyo平行四边形法则三角形法则7.数乘的几何意义(>1)(<1)(0<<1)(1<<0)二、空间两点间的距离M1M2=OM2OM1.现求M1,M2两点间的距离.设M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),为空间两点,连M1,M2得向量M1M2,由三角形法则由图知,为以M1QNP为底,M1R为高的长方体的一条对角线的长度.POxyzRQR1R2P2P1Q1Q2M2M1N由勾股定理POxyzRQR1R2P2P1Q1Q2M2M
