逻辑推理与永真公式的.ppt

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1、第三章逻辑推理与永真公式的公理系统3.1逻辑推理的基本思想3.2逻辑推理的公理系统习题及参考答案9/15/20211§3.1逻辑推理的基本思想在数学中和其他自然科学中，经常要考虑从某些前提A1，A2…An能够推导出什么结论。例如从分子学、原子学，能够得到什么结论等等。我们一般地要对“假设”的内容作深入分析，并研究其间的关系，从而得到结论。在数学及日常生活中，我们常常要决定一个陈述是否可以从另一个陈述推出，这就是“逻辑推理”问题，在给定这个概念形式定义之前，我们先举一些例子进行说明。9/15/20212

2、例如：如果天气干旱则粮食欠收。又设；当粮食欠收时大多数人是不幸的。再设；天气干旱。那么可以指出大多数人是不幸的。解：为了指出上述结论，现将陈述句表示如下：P：表示天气干旱，S：表示粮食丰收，U：表示大多数人是幸运的。例子中有四个陈述句，它们是：如果天气干旱，则粮食欠收；如果粮食欠收，则大多数人是不幸的；天气是干旱；大多数人是不幸的；将它们符号化成为：P→┐S┐S→┐UP┐U9/15/20213现在我们指出当P→┐S，┐S→┐U，P均为真时┐U为真，即（P→┐S）∧（┐S→┐U）∧P为真时，┐U为真，我

3、们将其化为范式：（（P→┐S）∧（┐S→┐U）∧P）=（P∧（┐P∨┐S）∧（S∨┐U）根据等价公式=（（（P∧┐P）∨（P∨┐S））∧（S∨┐U））根据分配律及结合律=（（F∨（P∨┐S））∧（S∨┐U））=（P∧┐S）∧（S∨┐U）=（P∧┐S∧S）∨（P∧┐S∧┐U）=P∧┐S∧┐U9/15/20214故有如下逻辑结论，（（P→┐S）∧（┐S→┐U）∧P）为真，那么（P∧┐S∧┐U）为真，而（P∧┐S∧┐U）为真时，必须P，┐S，┐U均为真，因此我们得到U是假的，此时，逻辑上称┐U是（P→S），

4、（S→┐U），与P的逻辑结果，其形式定义如下：9/15/20215定义：设A和C是两个命题公式，当且仅当A→C为一重言式，即AC，称C是A的有效结论。或C可由A逻辑地推出。这个定义可以推广到有n个前提的情况定义：设有命题公式序列A1…An及命题公式，如果对任何使A1…An为成真的指派，B也为真，则称B为A1…An的逻辑推论，或称B是A1…An的一个逻辑结果，记为A1…AnB，其中A1…An叫做B的前提或假设。9/15/20216判别有效结论的过程就是论证过程，论证的方法千变万化，但基本方法只有三种：即

5、真值表法、直接证法和间接证法。下面分别举例说明：（1）真值表法例如：如果张老师来了，这个问题可以得到解答。如果李老师来了，这个问题也可以得到解答，总之，张老师或李老师来了这个问题都可以得到解答。解：设P：张老师来了。Q：李老师来了。R：这个问题可以得到解答。上述语句可以表述命题如下：（P→R）∧（Q→R）∧（P∨Q）R9/15/20217列出真值表如下：PQRP→RQ→RP∨QTTTTTTTTFFFTTFTTTTTFFFTTFTTTTTFTFTFTFFTTTFFFFTTF9/15/20218从真值表看

6、到，P→R、Q→R、P∨Q的真值都为T的情况为第一行，第三行和第五行，而在这三行中R的真值均为T。故：（P→R）∧（Q→R）∧（P∨Q）R9/15/20219（2）直接证明法例：┐（┐P∧（┐Q∨┐R））=（P∨Q）∧（P∨Q）证明：┐（┐P∧（┐Q∨┐R））=┐（┐P∧┐（Q∧R））根据┐（P∧Q）=┐Q∨┐P=P∨（Q∧R）同上=（P∨Q）∧（P∨R）根据P∨（Q∧R）=（P∨Q）∧（P∨R）又例：P→Q=┐Q→┐P证：P→Q=┐P∨Q根据P→Q=┐P∨Q=┐P∨┐┐Q根据┐┐P=P=┐┐Q∨┐P

7、根据P∨Q=Q∨P=┐Q→┐P根据P→Q=┐P∨Q9/15/202110在这个证明过程中首先需要要用到一些已知的等价公式（已知的重言式）。由这一点我们可知，要证明一个未知的重言式必需要用到些已知的重言式，因而，要证明命题演算中所有重言式在命题演算中必需要有一些基本的，不需推导的重言式，由这些重言式出发可推得其余重言式。这里（1）—（39）视为基本重言式。这类重言式也可称为公理。其次，在证明过程中我们发现，仅仅使用一些已知的重言式是不够的。下面所用到的代入与替换的方法均是推理过程中所需要使用的一些规则。

8、这种规则我们称为推理规则。在命题演算中重言式的推理过程中需要一些基本的重言式及一些基本推理规则，由它们而可推得其余重言式。9/15/202111§3.2逻辑推理的公理系统所谓命题演算永真的公理系统就是给出若干条命题演算永真公式（称为公理），再给出若干条由永真公式推出永真公式的规则（称为推理规则），使得一切永真公式均能由这些公理出发，利用这些推理规则一步步地推出。现在问题是这样的，永真公式和推理规则能不能找到回答是肯定的，下面将给出命题演算永真公式公理系统