matlab数值分析第三章插值.ppt

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1、第三章插值插值：插值就是定义一个在特定点取给定值的函数的过程。本章的重点是介绍两个紧密相关的插值函数：分段三次样条函数和保形分段三次插值函数（称为“pchip”）3.1插值多项式3.2分段线性插值3.3分段三次埃米特插值3.4保形分段三次插值3.5三次样条3.6pchiptx，splinetx3.7interpgui3.1插值多项式平面上的任意两点（x1，y1）和（x2，y2）,只要x1≠x2,就为以确定一个关于x的一次多项式,其图形经过这两点。对于这个多项式，有多种不同的公式表达，但它们都对应同一个直线图形。

2、两个点时，假定给定区间[xk,xk+1]及端点函数值yk=f（xk），yk+1=f（xk+1），要求线性插值多项式L1（x），使它满足L1（xk）=yk，L1（xk+1）=yk+1y=L1（x）的几何意义就是通过两点(xk，yk)与（xk+1，yk+1)的直线，L1（x）的表达式可由几何意义直接给出由两点式可以看出，L1（x）是由两个线性函数的线性组合得到，其系数分别为yk和yk+1，即显然，lk（x）及lk+1（x）也是线性插值多项式，在节点xk及xk+1上满足条件我们称函数lk（x）与lk+1（x）为线性插

3、值基函数。这种用插值基函数表示的方法推广到一般情形，以下讨论如何构造通过n+1个节点x0

4、朗日插值多项式。则对于平面上有着不同xk值的n+1个点,（xk，yk），k=0，1,…,n,存在唯一一个关于x的次数小于n+1的多项式，使其图形经过这些点。很容易看出，数据点的数目n+1也是多项式系数的个数。尽管，一些首项的系数可能是零，但多项式的次数实际上也小于n。同样，这个多项式，有多种不同的公式表达，但它们都对应同一个直线图形。这样的多项式称为插值多项式，它可以准确的重新计算出初始给定的数据：表示插值多项式的最紧凑的方式是拉格朗日形式例如，考虑下面一组数据x=0:3;y=[-5-6-116];输入命令di

5、sp([x;y])其输出为0123-5-6-116这些数据的拉格朗日形式的多项式插值为一个多项式通常不用拉格朗日形式表示，它更常见的写成类似的形式。其中简单的x的次方项称为单项式，而多项式的这种形式称为使用幂形式的多项式。插值多项式使用幂形式表示为其中的系数，原则上可以通过求解下面的线性代数方程组得到。这个线性方程组的系数矩阵记为V，也被称为范德尔蒙（Vandermonde）矩阵，该矩阵的各个元素为上述范德尔蒙矩阵的各列，有时也按相反的顺序排列，但在MATLAB中，多项式系数向量，通常按从高次幂到低次幂排列。M

6、ATLAB中的函数vander可生成范德尔蒙矩阵，例如对于前面的那组数据，V=vander(x)生成V=00011111842127931然后，输入命令c=Vy'计算出插值系数c=1.00000.0000-2.0000-5.0000能实现各种插值算法的MATLAB函数它们都采用下面的调用格式v=interp（x，y，u）前两个参数，x和y，是长度相同的向量，它们定义了插值点。第三个参数u，为要计算函数值的范围上的点组成的向量。输出向量v和u长度相等，其分量v（k）=interp（x，y，u（k））。第一个这样

7、的插值函数是polyinterp，它基于拉格朗日形式。为了解释polyinterp函数的功能，先构造一个间隔很密的求值点向量。u=-.25:.01:3.25;然后输入命令v=polyinterp(x,y,u);plot(x,y,'o',u,v,'-')可生成图3-1。函数polyinterp也可以处理符号变量，例如创建符号变量symx=sym(‘x’)命令：P=polyinterp(x,y,symx)pretty(P)其输出结果为-5(-1/3x+1)(-1/2x+1)(-x+1)-6(-1/2x+3/2)(-

8、x+2)x-1/2(-x+3)(x-1)x+16/3(x-2)(1/2x-1/2)x这个表达式是插值多项式的拉格朗日形式。命令：P=simplify(P)将其进行简化，从而得到P的幂形式P=x^3-2*x-5计算机显示插值多项式的符号形式另外一个例子，使用的是本章另一种方法所用的例子x=1:6;y=[161821171512];disp([x;y])u=.75:.05:6.25;v=p