分析力学综合习题08.doc

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1、分析力学习1¥1R（）0T=mVO+”002其中=(R-r)0oy瞬心为A,则RR于是T=-m(R-r)202+-mR2化忙沪=*n(R_严沪22R2主动力有势，系统的势能为V-—mg(R~r)cos0dT^=2m(R-r)2e—.S3d八刖—=0—=^(/?-r)sin6>d0Q&代入拉格朗日方程，得到系统的动力学方程：2m(R-r)20+mg(R-r)sin0=02(R-r)3+gsin0=0=2m(R-r)20即考虑到微幅，有T=2tc周期为2（R-门g由于主动力有势，可以写出拉格朗日函数：L=T-V=m（R一r）20~一mg（R一r）cos0

2、同样可以得到系统的动力学方程。2.已知摆线绕在固定圆柱上，尺寸如图；写出系统的哈密顿正则方程,求此摆的运动微分方程。解这是单自由度保守系统，选硯广义坐标，选0=0为系统的零势能位置，则T=-m(I+R0)202V=mg[(l+7?sin<9)-(/+朋)cos。]将八"代入保守系统的拉格朗日方程2d(OT}dT0Vdt[^)~80=~d0或将拉格朗日函数L=T-V代入如下形式的拉格朗日方程=0皆可得运动微分方程(/+/?〃)“+加2+gsin&=0例3三角楔块A可沿水平光滑面作直线运动，楔块A的质量为叫其上受有简谐力F=Hsin（a的作用（H和血均为常

3、量）。楔块斜边BD上有一质量为m2、半径为厂的柱体，沿BD滚动而不滑动，二弹簧的刚体系数分别为kx和处。试建立系统的运动微分方程。解：系统具有二个自由度。取三角楔块的位移兀和圆柱体相对于楔块的位移伪广义坐标，二者均以其静平衡位置为原点。楔块A作平动，杉=心圆柱体作平面运动，质心速度叱为角速度必co=—r系统的动能卩为T=-m}x22

4、m2r2+-m2(i2+孑2+2疋cosa)+丄2241,23・2.•=—(〃?]+m2)xH——m2^+m2i^cos6Z系统的势能"为1919V=-m2g^sina+J](x+»io)+—k2(^4-込。)在平衡位置有

5、关系式k、（/］（）+x）=0，一gsinoc+k2§=0于是势能V为V=£*]乂2+”2(孑+5务)非有势力F相应的广义力分别为八Hsincot空rr.QY=ox=Hsincotxdx—（）「0dx冀=(®+m2)x+m2cosa・£dxd_rar^drvdr)••=(m}+m2)x+m2^cosa.又,dT3=—m2+m2xcosa,df[茁丿=+m.xcostz,空=k疋2_2茴25代入拉格朗日方程，得到系统的运动微分方程:（W]+m2）x+m2^cosa+k{x=Hsincot..3・・m2cosod+—m2^+k2（^=0例4图示系统中，半径

6、为「的均匀圆盘在槽内作不滑动的滚动。已知盘质量为加，槽的半径为1?。试用哈密顿原理建立系统的运动方程。解：若选择&为广义坐标，则系统微幅振动时的能量为1・919T=-m[(R-r)0]2+-IA(p2其中，0为圆盘的角速度，IA=mr2/2是圆盘对质心的转动惯量。圆盘作不滑动的滚动时，存在有(b)(pr-e(R-r)由此，得到(c)将式(c)代入式(a),得到T=-mr242e1(d)而系统的位能n=mg(R—厂)(1—cos(9)」mg(R-r)6>2将T与II代入变分式5/=8~(T—n)dr=0中，得到p32—mr4J厂丿522o2--mg(R

7、-r)02dt*l232—mr2^R-r^J厂)6^0-mg(R-r)063dt2=丄加(R—厂)2^5。2—m(R-r)2660Ath2一Jmg(R-r)660dt=0由于，t=t}=t2时，哈密顿原理要求50=0,所以，式⑴满足时，必有3・・—m{R一rfO+mg（R一r）0=0式（g）就是系统微幅振动时的运动方程。例1设均质圆环A的质量为加力半径为从置于光滑的水平面上。一均质圆盘爲质量为加旳半径为厂试用拉格朗日方程的初积分求其沿——解:此系统为三自由度。设0®为固定坐标系，山y为平动坐标系，Ay,轴固结于圆环A。以A点的水平方向坐标兀，4九轴于A

8、/轴的夹角久及直线AB与Af轴的夹角©为三个广义坐标（见图a）o不难看出（见图b），圆环角速度a）A=0,其中心A的速度v.=xo圆盘角速度轴及其中心B的速度％必须利用运动学关系确定。将直线看作刚杆，取4为基点，有(1)因为％=(R-r)(p=2r(p,故根据余弦定理导出■?2>(2厂0)2+2丘(2M)cos(tz72+0)]"~=(x2+4r2^?2-4rx(psin(p^2盘沿圆环内壁作纯滚动,速度。以圆盘为对象，取C为基点，有以圆环为对象，取4为基点，有▼cT+怙将式(1)、(3)代入(2),导出上式中三个矢量的方向始终相同。由Vca=RD、v

9、bc=可得2r(p-R0力(4)(Dr-=20—3&可写出系统的动能为丁二*加记+£(加F)话