高等数学吴赣昌.理工类.人大第四版 上、下册完总习题六及课外习题.doc

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1、总习题六★★★1．求由曲线与纵轴所围图形面积。思路：曲线关于x轴对称，又曲线的一条分支是关于的减函数，见图6-1可知用y型或用对称性求图形面积较为简单。图6-1解：曲线表达为，它和y轴的交点：（）∴★★★2．求介于直线之间、由曲线和所围成的平面图形的面积。解：★★★3．直线将椭圆分成两块，设小块面积为，大块面积为，求的值。思路：由于和的交点为及，，因此面积较小的一部分用y型做较简单，见图6-3图6-313/23/23/2解：较小部分区域表达为：：则，，∴★★★4．求椭圆和公共部分的面积。思路：由图形的对称性可得所求面积是和及所围在第一象限内区域面积的8倍，见图6-4图6-4解：：∴

2、★★★5．求由曲线所围图形面积。思路：图形为星形线，所以由图形的对称性可得所求面积是第一象限内区域面积的4倍解：：，（设是星形线函数）∴★★★6．圆被心形线分割成两部分，求这两部分的面积思路：设分割成的右边图形为，由图形的对称性可得所求面积是极轴上半部分面积的2倍，见图6-6图6-601解：和相交于，∴由、两部分组成，：，：，∴，左边部分的面积★★★★7．设，问取何值，右图中阴影部分的面积与之和最小？最大？0图6-7解：，，，得，比较，∴★★★8．由曲线与轴围成的区域，被曲线分为面积为相等的两部分，求的值，见图6-801图6-81解：两曲线，交于：（），∴由，计算可得★★★9．求星

3、形线所围图形绕x轴旋转而成的旋转体体积。知识点：旋转体体积思路：由于星形线关于x、y轴都对称，因此所求旋转体体积是第一象限内星形线及坐标轴围成的图形绕x轴旋转一周形成的旋转体积的两倍解：根据旋转体积的公式：，利用星形线的参数方程进行变量代换，可得★★★10．求由圆绕x轴旋转而成的环体体积。思路：可以对照绕y轴旋转的旋转体体积求法，见图6-10051图6-10解：该体积是曲线及x轴所围图形绕x轴旋转一周所得体积的两倍∴★★★11．证明：由平面图形绕y轴旋转而成的旋转体体积为知识点：元素法的应用证明：由平面图形绕y轴旋转而成的旋转体体积，可看作绕y轴旋转所得的侧面积在范围内叠加而成，∴

4、。★★★12．曲线和x轴围成一平面图形，计算此平面图形绕y轴旋转而成的旋转体体积。思路：用绕y轴旋转的旋转体体积求法解：平面图形为：曲线，（）和x轴围成∴★★★★13．设抛物线过原点，当时，，又已知该抛物线与直线及x轴所围图形的面积为，求，使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小。解：因为抛物线过原点，所以，又当时，，所以该抛物线与直线及x轴所围图形的面积，得，又此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积，将代入可得，，得到：，因为只有一个驻点，∴可得满足所给条件的。★★★★14．在由椭圆域绕y轴旋转而成的椭球体上，以y轴为中心轴打一个圆孔，使剩下部分的体积恰好等于椭球体体积的一半

5、，求圆孔的直径。知识点：旋转体体积思路：打一个以y轴为中心轴的圆孔后，剩下的椭圆部分的体积是由xoy坐标面上，如图所示的平面图形绕y轴旋转而成立体体积的两倍，见图6-14图6-14解：设圆孔的半径为则在xoy面上曲线和的交点（），平面图形由减部分组成，：；：，∴，由条件，可得：★★★15．求由柱体与相贯部分的体积。思路：由立体图形的对称性可知所求体积为第一象限内体积的8倍，用垂直于x轴的平行截面截，可得截面面积，以此计算体积，见图6-150图6-15解：垂直于x轴的平行截面截，得截面为长：；宽：的长方形。∴，16．将曲线绕x轴旋转得一旋转体★★(1)．求此旋转体体积解：∵函数的定义

6、域：，∴★★★(2)．记此旋转体介于与之间的体积为，问为何值时有。解：∵，要使，只要★★★17．将抛物线在横坐标0与之间的弧段和以及x轴所围图形绕x轴旋转，问为何值时，所得旋转体体积等于弦（为抛物线与的交点）绕x轴旋转所得锥体体积。思路：抛物线经过原点，并且开口向上，如图6-170图6-17解：，经（0，0）和（）的弦方程为：，★★★★18．计算半立方抛物线被抛物线截得的一段弧的长度。知识点：求平面弧长思路：作简图确定弧段的范围，代入公式，见图6-1810图6-18解：和的交点为：将代入方程可知是方程的根，∴分解因式可得，∴方程只有一解交点：（），由图形关于x轴对称∴，∵两边对x求

7、导：∴★★★19．证明双纽线的全长可表示为。证明：根据双扭线的对称性，，其中是双扭线在第一象限内的一段弧长，∴用极坐标的弧长公式可得：★★★20．在摆线上，求分摆线第一拱成1：3的点的坐标。知识点：平面曲线的弧长解：摆线第一拱的的范围：（），设在处分摆线成1：3，则根据弧长参数公式，可得：∵，∴★★★★21．求曲线，该曲线上两点（0，1）及之间的弧长为。解：由条件：曲线上两点（0，1）及之间的弧长，等式两边对x求导：，根据第十二章的微分方程求解得到：∵经过（0，0），