高中数学第一章立体几何初步6.1垂直关系的判定第二课时平面与平面垂直的判定学案北师大版.docx

《高中数学第一章立体几何初步6.1垂直关系的判定第二课时平面与平面垂直的判定学案北师大版.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第二课时　平面与平面垂直的判定[学习目标]　1.理解二面角的有关概念．　2.会求简单的二面角的大小．　3.掌握两平面垂直的判定定理.【主干自填】1．二面角及其平面角(1)半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面．(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．(3)二面角的记法．如图，记作：二面角α－AB－β.(4)二面角的平面角．以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，其中平面角是直角的二面角叫作直二面角．如

2、图二面角α－l－β，若有①O∈l；②OAα，OBβ；③OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB就叫作二面角α－l－β的平面角．2．两个平面互相垂直(1)两个平面互相垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)两个平面互相垂直的判定定理【即时小测】1．思考下列问题(1)如何用字母来记作二面角？提示：如图，棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α－AB－β.有时为了方便，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P－AB－Q.如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α－l－β或P－l－Q.(2)判定两个平面互相垂直，

3、除了定义外，还有其他的判定定理吗？提示：面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．这个定理简称“线面垂直，则面面垂直”．2．下列说法：①两个相交平面组成的图形叫作二面角；②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是(　　)A．①③B．②④C．③④D．①②提示：B3．设l是直线，α，β是两个不同的平面(　　)A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则

4、α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β提示：B　对于选项A，两平面可能平行也可能相交；对于选项C，直线l可能在β内也可能平行于β；对于选项D，直线l可能在β内或平行于β或与β相交．4．如图，已知：PA垂直于圆O所在平面．AB是圆O的直径，C是圆周上一点．则图中垂直的平面共有________对．提示：3　平面PBC⊥平面PAC；平面PAC⊥平面ABC；平面PAB⊥平面ABC.例1　如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，点E在侧棱PB上．求证：平面AEC⊥平面PBD.[证明]　∵PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴PD⊥

5、AC.又ABCD为正方形，AC⊥BD，PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PBD.又AC平面AEC，∴平面AEC⊥平面PBD.类题通法证明平面与平面垂直常用的两种方法(1)证明一个平面过另一个平面的一条垂线．(2)证明二面角的平面角是直角．　在四面体A－BCD中，BD＝a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a，如图．求证：平面ABD⊥平面BCD.证明　∵△ABD是等腰三角形，∴取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD.在△ABD中，AB＝a，BE＝BD＝a，∴AE＝＝a.同理CE＝a.在△AEC中，AE＝CE＝a.AC＝a，∴AC2＝AE2＋CE2，∴AE⊥CE.又BD∩CE＝E，∴A

6、E⊥平面BCD.又AE平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD.例2　如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1中点，求平面B1DE和底面ABCD所成二面角的正切值．[解]　延长B1E和BA交于点F，连接DF，则DF是所求二面角的棱，∵E是AA1的中点，故B1E＝EF，从而AF＝AB＝CD，∴四边形FACD为平行四边形，∴DF∥CA.∵CA⊥BD，∴DF⊥DB.∵B1B⊥平面ABCD，∴BB1⊥DF，DF⊥平面BB1D，故B1D⊥DF.∴∠B1DB是所求二面角的平面角．∴在Rt△B1BD中，tan∠B1DB＝＝.故平面B1DE与底面ABCD所成二面角的正切值为.类题通

7、法求二面角大小的步骤(1)找出这个平面角．(2)证明这个角是二面角的平面角．(3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小．　如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于D，E，SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小．解　∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥AC，SA⊥BC，SA⊥AB，SA⊥BD.由已知SC⊥ED，SE＝EC，SB＝BC.∴SC⊥BE，∵DE∩BE＝E，∴SC⊥平面BED，∴SC⊥BD.又∵BD⊥SA