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1、浅析二分法及其Matlab和C程序实现第一部分：二分法浅析用二分法求方程的近似解是紧跟在“函数的零点”之后的教学内容。从联系的角度看,前面一节，学生已经学习了方程的根与函数的零点Z间存在着对立统一的关系，这一节则是介绍一种具体的方法来运用这一关系解决问题。从整个教材来分析，这一部分的内容是在“函数的应用”这一大章节Z下。新课程标准中强调函数的应用性，这里包括两个方面：一方面是函数在生活实践中的应用，函数建模等内容属于这个范畴；另一方而则是函数在数学自身范用内的应用，“二分法”即是其屮的代表。基丁以上的分析，笔者给出了以下的一些教学建议，与读者朋
2、友们分享。为什么要用二分法就通过试验缩小搜索区间来讲，试验点不一定取中点，取其他的点也可以，那么为什么取屮点呢？下面以搜索区间为［(),1］的情况作讨论。一种对所有搜索区间为［0,1］的方程张)=0都适用的方法，即对集合G={f(x)=0,f(X)连续，且A0)-AD<0}中的所有方程都适用的方法.一个合理的假设是:G中所有方程.心)=0的根在［0,1］上均匀分布.设试验点是C,那么C将［0,1］分成［0,C］和［C,1］两部分，它们的长度分别是c•和1«由假设，通过试验保留的搜索区间是［0,c］(即方程Ax)=0的根在［(),d中)的概率是c
3、,通过试验保留的搜索区间是［c,1］的概率是1-c.因此，通过一次试验保留的搜索区间的期望长度为c2+(1-c)2=2c2-2c+l=2(c-
4、)2+
5、,容易看出，当的时候，通过一次试验保留的搜索区间的期望长度最小。这就是取中2点作为试验点的原因。二、引入方法方法1:已知商店里一件商品的利润y与它的价格xZ间满足函数关系y=x2~4x+3,请画出这个函数的图像，并思考当价格为多少元的时候商店不盈也不亏.方法2：创设问题情景：蹦极运动.设下落的时间t秒.人离开参照点“礁石尖端”的位移为S(S=0表示人在礁石点处，向下取负，向上取正)，开始下落时，
6、时间匸0,在te［4,6］时的变化如下表:t4.04.34.6S-51014.95.25.56.0-1018■3问：这段时间内人有儿次通过礁石尖端处？方法3：使用“幸运52”猜测商品价格的游戏作情景.方法4：(1)谙同学们思考下面的问题：能否解下列的方程%1x2-2x-1=0%1lgx=3-x%1x4-3x-1=0(2)特殊入手：不解方程求方程x2-2x-1=0的近似解(精确到0.01).方法1、2、3都是以“实际问题”为情境引入.方法4以学生已有的认知水平：会求一元二次方程的实数解，对应二次函数的图像与二轴的交点坐标•让学生探究具体的一元二次
7、方程的根与其对应的一元二次函数的图像与二轴的交点的横坐标的关系，再探究一般的一元二次方程的根与其对应的一元二次函数的图像与x轴的交点的横坐标的关系.三、函数零点的处理用二分法求方程近似解的理论基础是零点存在定理.下面我们来看看教材上描述的零点存在定理.如果函数y=f(x)在区间［a,S上的图像是连续不断的一条曲线，并且有那么函数y=f(x)在区间S，切内有零点即存在c^(a,h),使/(c)=0.由此可见，定理的题设部分有两个条件：(l)y=/(x)在区间［a,切上的图象是连续不断的一条曲线；⑵他)/(/7)<0.学生在运用这个定理时往往会存在
8、以下疑问：%1我怎样去判断某一函数的图像在某一区间是连续不断的呢？%1y才⑴满足条件⑴⑵就一定存在零点，那么是否只存在一个零点呢？%1若把条件⑵改为f(a)f@)>0,则y=f(x)在(°,仍是否就不存在零点呢?对丁问题①，我们可以告诉学生我们前面所学的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幕函数在它们各自的定义域内图像都是连续的.这些函数经过加减乘除或经过复合而成的新的函数在齐自的定义域内图像仍然是连续的.对于问题②，主耍通过观察函数图像来总结.(1)对全部零点为单重零点既对应方程无重根的情况.y=f(%)在区间S，切上的图象是连续不断的一
9、条曲线且贝'Jy=/U)在(。,b)上有奇数个零点.若y=f(x)在区间［a,切上单调则y才⑴在(a,b)上有唯一零点.y=f(x)在区间［a,创上的图象是连续不断的一条曲线且f(a)f(b)>Of则y才⑴在(°,b)上有偶数个零点.若y=f(x)在区间［a,S上单调则y=f(x)在(a，“)上有无零点.可以看岀连续函数的零点具有一个很重耍的性质：函数的图象如果是连续的，当它通过零点时，函数的值变号，也就是图象要经过该点要穿越兀轴.(2)对多重零点的情况函数若有-•零点为多重零点，当该零点为偶重零点时，图象通过该零点时，函数值不变号，也就是图象
10、经过该零点而不穿越兀轴.当该零点为奇重零点时，图象经过该点时函数值耍变号,也就是图彖经过该零点且穿越X轴.处理好这个问题是本节课的关键.四、精度精确度
