2017中考数学（四川版）（检测）专题十二　二次函数的几何意义.doc

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1、专题十二　二次函数的几何意义(针对四川中考二次函数的几何应用)1．(导学号　14952507)(2017·成都预测)如图，顶点为M的抛物线y＝a(x＋1)2－4与x轴相交于点A，B(点A在点B的右侧)，与y轴相交于点C(0，－3)．(1)求抛物线的解析式；(2)判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由；(3)抛物线上是否存在点N(点N与点M不重合)，使得以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线y＝a(x＋1)2－4与y轴相交于点C(0，－3)．∴－3＝a

2、－4，∴a＝1，∴抛物线解析式为y＝(x＋1)2－4＝x2＋2x－3　(2)△BCM是直角三角形，理由：由(1)有，抛物线解析式为y＝(x＋1)2－4，∴顶点为M(－1，－4)，令y＝0，∴x2＋2x－3＝0，∴x1＝－3，x2＝1，∴A(1，0)，B(－3，0)，∴BC2＝9＋9＝18，CM2＝1＋1＝2，BM2＝4＋16＝20，∴BC2＋CM2＝BM2，∴△BCM是直角三角形　(3)存在，∵以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，且点M是抛物线的顶点，∴有两种情况，①点N在x轴上方的抛物线上，如图1，由(2)有△

3、BCM是直角三角形，BC2＝18，CM2＝2，∴BC＝3，CM＝，∴S△BCM＝BC×CM＝×3×＝3，设N(m，n)，∵以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，∴S△ABN＋S△ABC＝S△BCM＋S△ABC，∴S△ABN＝S△BCM＝3，∵A(1，0)，B(－3，0)，∴AB＝4，∴S△ABN＝×AB×n＝×4×n＝2n＝3，∴n＝，∵点N在抛物线y＝x2＋2x－3的图象上，∴m2＋2m－3＝，∴m1＝－1＋，m2＝－1－，∴N(－1＋，)或N(－1－，)；②如图2，点N在x轴下方的抛物线上，∵点C在对称轴的右侧

4、，∴点N在对称轴右侧不存在，只有在对称轴的左侧，过点M作MN∥BC，交抛物线于点N，此时，S△BCM＝S△BCN，∴S四边形ABMC＝S四边形ABNC，∵B(－3，0)，C(0，－3)，∴直线BC解析式为y＝－x－3，设MN的解析式为y＝－x＋b，∵抛物线解析式为y＝(x＋1)2－4①，∴M(－1，－4)，∴直线MN解析式为y＝－x－5②，联立①②得(舍)，∴N(－2，－3)，综上所述，N(－1＋，)或N(－1－，)或N(－2，－3)2．(导学号　14952508)(2017·乐山预测)在直角坐标系xOy中，A(0，2)，B(－1，0)，将△

5、ABO经过旋转、平移变化后得到如图1所示的△BCD.(1)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；(2)连接AC，点P是位于线段BC上方的抛物线上一动点，若直线PC将△ABC的面积分成1∶3两部分，求此时点P的坐标；(3)现将△ABO，△BCD分别向下、向左以1∶2的速度同时平移，求出在此运动过程中△ABO与△BCD重叠部分面积的最大值．解：(1)∵A(0，2)，B(－1，0)，将△ABO经过旋转、平移变化得到如图1所示的△BCD，∴BD＝OA＝2，CD＝OB＝1，∴∠BDC＝∠AOB＝90°，∴C(1，1)，设经过A，B，C三点的抛物线解析式

6、为y＝ax2＋bx＋c，则有解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2(2)如图1，设直线PC与AB交于点E.∵直线PC将△ABC的面积分成1∶3两部分，∴＝或＝3，过点E作EF⊥OB于点F，则EF∥OA，∴△BEF∽△BAO，∴＝＝，∴当＝时，＝＝，∴EF＝，BF＝，∴E(－，)，设直线PC解析式为y＝mx＋n，则可求得其解析式为y＝－x＋，∴－x2＋x＋2＝－x＋，∴x1＝－，x2＝1(舍去)，∴P1(－，)，当＝3时，同理可得P2(－，)(3)设平移的时间为t，△A1B1O1与△B2C1D1重叠部分的面积为S，可由已知求出A1B1的解析式

7、为y＝2x＋2－t，A1B1与x轴交点坐标为(，0)，C1B2的解析式为y＝x＋t＋，C1B2与y轴交点坐标为(0，t＋)．①如图2，当0＜t＜时，△A1B1O1与△B2C1D1重叠部分为四边形．设A1B1与x轴交于点M，C1B2与y轴交于点N，A1B1与C1B2交于点Q，连接OQ，由得∴Q(，)，∴S＝S△QMO＋S△QNO＝××＋(t＋)×＝－t2＋t＋，∴当0＜t＜时，S的最大值为；②如图3，当≤t＜时，△A1B1O1与△B2C1D1重叠部分为直角三角形，设A1B1与x轴交于点H，A1B1与C1D1交于点G，则G(1－2t，4－5t)，

8、D1H＝＋1－2t＝，D1G＝4－5t，∴S＝D1H·D1G＝··(4－5t)＝(5t－4)2，∴当≤t＜时，S的最大值为.综上所述，在此运动过程中，△ABO与△B