无穷级数练习题.doc

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1、无穷级数习题一、填空题1、设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为。2、幂级数的收敛域为。3、幂级数的收敛半径。4、幂级数的收敛域是。5、级数的收敛域为。6、级数的和为。7、。8、设函数的傅里叶级数展开式为，则其系数的值为。9、设函数则其以为周期的傅里叶级数在点处的敛于。10、级数的和。11、级数的收敛域为。参考答案：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、二、选择题241、设常数，而级数收敛，则级数是（）。（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛与有关2、设，，，则下列命题中正确的是（）。（A）若条件收敛，则与都收

2、敛。（B）若绝对收敛，则与都收敛。（C）若条件收敛，则与的敛散性都不一定。（D）若绝对收敛，则与的敛散性都不定。3、设，若发散，收敛，则下列结论正确的是（）。（A）收敛，发散.（B）收敛，发散.（C）收敛.（D）收敛.4、设为常数，则级数是（）（A）绝对收敛.（B）条件收敛.（C）发散.（D）收敛性与取值有关.5、级数（常数）是（）（A）发散.（B）条件收敛.（C）绝对收敛.（D）收敛性与有关.6、设，则级数（A）与都收敛.（B）与都发散.24（C）收敛而发散.（D）发散而收敛.7、已知级数，则级数等于（）。（A）3.（B）7.（C）8

3、.（D）9.8、设函数，而，其中，，则等于（）。（A）.（B）.（C）.（D）.9、设，其中则等于（）。（A）.（B）.（C）.（D）.10、设级数收敛，则必收敛的级数为（A）.（B）.（C）.（D）.11、已知级数，，则级数等于（）。（A）3.（B）7.（C）8.（D）9.12、若级数收敛，则级数（）（A）收敛.（B）收敛.（C）收敛.（D）收敛.13、若在处收敛，则此级数在处（）。24（A）条件收敛.（B）绝对收敛.（C）发散.（D）敛散性不能确定.14、设幂级数与的收敛半径分别为与，则幂级数的收敛半径为（）（A）5.（B）（C）（

4、D）参考答案：1234567891011121314CBDCCCBCDCDBA三、解答题1、设在点的某一邻域内具有二阶连续导数，且，证明级数绝对收敛。【分析一】表明时是比高阶的无穷小，若能进一步确定是的阶或高于阶的无穷小，，从而也是的阶或高于阶的无穷小，这就证明了绝对收敛。【证明一】由及的连续性。再由在邻域有二阶连续导数及洛必达法则由函数极限与数列极限的关系因收敛收敛，即绝对收敛。242、设正项数列单调减小，且发散，试问级数是否收敛？【分析与求解】因单调下降有下界极限。若，由莱布尼兹法则，并错级数收敛，与假设矛盾，于是。现在对正项级数可

5、用根值判别法：因为，所以原级数收敛。3、求幂级数收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。【分析与求解】直接用求收敛半径的公式，先求于是收敛半径，收敛区间为当时是正项级数：，而发散，发散，即时原幂级数发散。当时是变号级数，我们用分解法讨论它的敛发散。24因收敛，收敛，又收敛收敛，即时原幂级数收敛。4、（1）验证函数满足微分方程；（2）利用（1）的结果求幂级数的和函数。【分析与求解】（1）首先验证该幂级数的收敛区间是这是缺项幂级数，令，则原级数由，从而时原级数收敛。其次，在收敛区间内对幂级数可以逐项求导任意次，这里要求逐项求导两次：，，于是级

6、数的线性性质24（收敛级数与它任意添加括号后的级数有相同的和）（2）因为幂级数的和函数满足微分方程①又知②所以为求只须解二阶线性常系数微分方程的初值问题①+②该方程相应的齐次方程的特征方程为特征根为相应齐次方程的通解为设非齐次方程的一个特解为，代入方程①得非齐次方程①的通解为令，由初始条件②因此5、求幂级数的收敛区间与和函数24【分析与求解】这是缺项幂级数，令考察，其中由的收敛半径为1原幂级数收敛半径为1，收敛区间为。下面求和函数：，注意，积分两次得,因此，6、求级数的和。【分析与求解】先将级数分解：第二个级数是几何级数，它的和已知24

7、求第一个级数的和转化为幂级数求和，考察因此原级数的和7、求级数的和。【分析与求解】先用分解法将原级数分解。记要熟记五个简单函数的幂级数展开式，与此级数和有关的是，即于是，因此248、将函数展为的幂级数。【分析与求解】容易展开。，由，得①在幂级数的收敛区间内可逐项积分得②且收敛区间不变，当时，②式右端级数均收敛，而左端在连续，在无定义，因此9、将函数展开成的幂级数。【分析与求解】，先求的展开式积分得2410、设试将展开成的幂级数，并求级数的和。【分析与求解】关键是将展成幂级数，然后约去因子，再乘上并化简即可。直接将展开办不到，且易展开，即

8、①积分得②因为右端级数在时均收敛，又在连续，所以展开式在收敛区间端点成立。现将②式两边同乘得上式右端当时取值为1，于是上式中令11、将函数展成以为周期的傅里叶级数，并由此求级数的和。24【分析与求解】按傅氏