兰州大学——数学物理方法期末试卷A.docx

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1、数学物理方法常用的公式（注：仅供参考）：拉普拉斯算子作用于标量场在圆柱坐标系和球坐标系下的表示：；勒让德多项式的微分表示：勒让德-傅里叶级数展开：定义在的区间的至少分段光滑函数可以展开为广义傅里叶级数：其中，系数勒让德多项式的生成函数：在球坐标下下的梯度表示得分一、（本题10分，每小题5分）（1）证明：，其中，为常矢量。（2）计算矢量场的旋度。二、（本题10分，每小题5分)将下列复数写成代数形式，其中为虚数单位，（1）；（2）三、（本题10分)已知解析函数的实部，且满足，求该解析函数。四、（本题10分)将函数以为中心的邻域内做洛朗级数展开。五、（本题10分)计算实变函数积分，六

2、、（本题10分)设有一根均匀的柔软的细弦，当它做微小的横振动时，除受内部张力作用外，还受到阻尼力的作用，设阻尼力与速度成正比，比例系数为，即单位长度的弦所受阻力。试写出带有阻尼的弦振动方程。七、（本题10分)将定解问题的边界条件齐次化，设，并假设满足齐次边界条件，请写出关于的相应的定解问题。（注：不必对边条件齐次化后的定解问题进行求解）八、（本题15分)求解定解问题的解九、（本题15分)在均匀电场中放置一个半径为并接地的导体球，求导体球放入电场达到静电平衡后，球外各点的电势分布，并算出各点的电场强度和导体表面的电荷分布。一、（本题10分，每小题5分）（1）证明：，其中，为常矢量

3、。（2）计算矢量场的旋度。（1）证明：（3分）（2分）（2）解：（3分）（2分）二、（本题10分，每小题5分)将下列复数写成代数形式，其中为虚数单位，（1）；（2）解：（1）为整数（3分）当为偶数时，（1分）当为奇数时，（1分）（2）（3分）（2分）三、（本题10分)已知解析函数的实部，且满足，求该解析函数。解：根据科西-黎曼条件：，（2分）所以有（2分）（2分）即有所以（2分）由条件，可得（1分）所以有（1分）四、（本题10分)将函数以为中心的邻域内做洛朗级数展开。解：（3分）（7分）五、（本题10分)计算实变函数积分，解：设，则有（2分）则原积分等于（3分）被积函数有两个极

4、点显然在单位圆外，在单位圆内，该点的留数为（2分）（2分）所以该定积分等于（1分）六、（本题10分)设有一根均匀的柔软的细弦，当它做微小的横振动时，除受内部张力作用外，还受到阻尼力的作用，设阻尼力与速度成正比，比例系数为，即单位长度的弦所受阻力。试写出带有阻尼的弦振动方程。解：建立坐标系，如图所示取弦的平衡位置为轴，且令端点坐标为与．设是坐标为的弦上一点在时刻的(横向)位移．在弦上隔离出长为的一小段(弦元)．弦元的弦长足够小，以至于可以把它看成是质点．分析弦元受力：它在两个端点及处受到张力的作用．因为弦是完全柔软的，故只受到切向应力张力的作用，而没有法向应力。因此有：.（4分）

5、小振动近似：与两点间任一时刻横向位移之差与相比是一个小量，即:在小振动近似下，弦的横振动这样，就有(3分)于是，即（3分）其中是弦的线密度(单位长度的质量)．定义：，则有一般情况下弦振动的加速度远远大于重力加速度，方程简化为七、（本题10分)将定解问题的边界条件齐次化，设，并假设满足齐次边界条件，请写出关于的相应的定解问题。（注：不必对边条件齐次化后的定解问题进行求解）解：设，并令则有设，可得，所以有（5分）把带入原有的定解方程中可得关于的定解问题为（5分八、（本题15分)求解定解问题的解解：设，并且代入方程可得上式左右两边要相等只能等于同一常数，设为则有（4分）由自然周期边条

6、件，可得解得，本征值，本征函数其中（3分）则有当时，有解得由有限性条件可得所以（2分）当时，方程的解为由有限性条件可得所以（2分）综上所述其中，，（1分）由边界条件可得解得，，（2分）所以解得有（1分）九、（本题15分)在均匀电场中放置一个半径为并接地的导体球，求导体球放入电场达到静电平衡后，球外各点的电势分布，并算出各点的电场强度和导体表面的电荷分布。解：以球心为原点，方向为极轴方向取球坐标系，显然此问题关于极轴是对称的，当导体达到静电平衡时，导体是个等势体，导体表面是个等势面，为了考虑问题的方面，选取导体为电势零点，则有，根据题意可知在无穷远的处电势为球外各点没有电荷，满足

7、拉普拉斯方程所以有定解问题为：（3分）由分离变量法，由于是轴对称问题，可令，代入式（1），可得方程的解为：（4）（3分）由边界条件（3）和根据勒让德函数为基的函数的广义傅立叶级数展开，对比系数可得：（3分）方程的解（4）变为：（5）由边界条件（2）可知：德函数为基的函数的广义傅立叶级数展开，对比系数可得：（2分）于是可得：（6）（1分）根据电场强度与电势的关系：，则有（7）（1分）（8）（1分）（1分）