整群环中的挠单位.pdf

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1、摘要设G为有限群，本文主要研究群G整群环ZG中的挠单位与G的元素在有理群代数QG中的共轭关系。文章的第二部分得到了某些群直积的整群环的挠单位及挠子群的一些结果，特别肯定了交错群丘与3阶循环群的直积满足Zassenhaus猜想。在第三部分，利用Luthar--Passi方法，通过计算z(4×取)中挠单位的偏增广，肯定4与二面体群皿的直积满足Zassenhaus猜想。利用同样的方法，文章第四部分证明对称群足满足Zassenhaus猜想的弱化形式Kimmerle猜想。关键词：整群环；挠单位；Zassenhaus猜想；Kimmerle猜想AbstractlII

2、IIIIIIIIIIlUlUlllY2588737LetGbeafinitegroup，themaintopicofthispaperistheconjugaterelationshipbetweenthetorsionunitsoftheintegralgroupringandtheelementsofGinrationalgroupalgebraQG．Atthesecondpartofthepaper，someresultsaboutthetorsionunitsoftheintegralgroupringwhichisaffordedbythed

3、irectproductofsomespecialgroupsaregiven，especiallyitisconfirmedthatthedirectproductoffivedegreealtemativegroup4andthecyclicgroupwithorderthreeC3satisfiesZassenhaus’conjecture．Atthethirdpart，usingtheSOcalledLuthar-Passimethod，it’Sprovedthatthedirectproductof4andtheDihedralgroupD6

4、satisfiesZasseI：d'mus’conjecturebycomputethepartialaugmentationsofthetomionuntisofz(4×D6)．Usingthesamemethod，Ⅱleforthpartwillshowthatthesymmetricgroups6satisfiesKimmerlelSconjecturewhichisaweakerversionofZassenhaus’conjecture．Keywords：integralgroupring；torsionunits；Zassenhaus’co

5、njecture；Kimmerle’Sconjecture目录弓I言⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．1第一章基础知识⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯。3第二章若干群的整群环中的挠单位与单位子群⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5第三章群4×D6的Zassenhaus猜想⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10第四章对称群最的Kimmerle猜想⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯18附GAP程序的简单应用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯23参考文献⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

6、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．25攻读学位期间的研究成果⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．27致谢⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．28学位论文独创性声明⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．29学位论文知识产权权属声明⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．29引言设ZG为有限群G的整群环，V(ZG)为ZG的正规化单位群。1971年左右Zassenhaus提出如下猜想：(ZCl)对V(ZG)中的任一挠元U，存在元素g∈G，满足U与g在有理群代数QG中共轭。由于缺乏证明或构造反例

7、的必要方法，该猜想并未解决。猜想最一般的结果是Weiss[1]给出的，他证明若G为幂零群，日为V(ZG)的任一有限子群，则存在y∈(Qo)。使得H7cG。利用代数及表示理论，文献[2—8]肯定了一些亚阿贝群的(zcl)猜想。利用Weiss的一些结论，Her咐eCk[9]证明有限P一群通过阿贝尔p’一群扩张后的群满足(zcl)。对于不可解群，研究Zassenhaus猜想最主要的方法是文献[10]中给出的Luthar-Passi方法，即利用群的常特征标来计算。利用该方法，Luthar等首先肯定了交错群4及对称群墨的Zassenhaus猜想(ZCl)成立，见

8、文献[10]与[11]。近年，Hcrtweck[121将该方法推广到群的Brauer特征标上，