《信号与系统》课程讲义2-1

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1、第二章连续时间系统的时域分析本章主要研究内容：微分方程的建立与求解零输入、零状态、冲激、阶跃响应卷积、算子分配函数§2.1微分方程的建立与求解一、微分方程的建立1．元件约束特性①电路元件i)电阻R：G_+iR_+i*时间域进行，不变换*直观，物理概念清楚*其它变换域方法基础*重新得到关注和重视§2.1微分方程的建立与求解v_+Liii)电感L：v+i_Ciii)电容C：§2.1微分方程的建立与求解iv)互感M：L1Mv1L2i2i1--++v2v)变压器、受控源和运算放大器§2.1微分方程的建立与求解②机械元件ii)弹性系数：iii)质量：i)摩擦系

2、数：§2.1微分方程的建立与求解2．网络拓扑约束ii)KCL：②机械系统：达朗贝尔原理ii)①电路系统i)KVL：i)§2.1微分方程的建立与求解4．电路类微分方程建立例子3．不同性质系统可用相同微分方程描述数学模型，数学抽象，无物理意义<例见书上P43~P44>§2.1微分方程的建立与求解[例1]：求下面电路的微分方程+_+_+_e(t)v1(t)uv1(t)+_v0(t)CR解:C两端电压§2.1微分方程的建立与求解5．机械类微分方程建立例子[例2]：理想火箭推动器模型的微分方程火箭m1载荷m2摩擦系数f1摩擦系数f2输入:推进力e(t)k输出:

3、荷载舱速度§2.1微分方程的建立与求解解：由(2)可得：由(2)还可得：(4)(3)§2.1微分方程的建立与求解把(3)和(4)代入(1)可得：§2.1微分方程的建立与求解6．线性时不变系统的微分方程特点e(t)r(t)+-iL(0-)=0Lvc(0-)=0-+C②若组成系统的元件线性、参数恒定且无初始储能，则系统为线性时不变系统0-:激励加入前的时刻①一般形式：线性常系数微分方程§2.1微分方程的建立与求解②齐次解形式：函数的线性组合令代入上式化简得特征方程有n个根:特征根二、微分方程的经典时域求解法（齐次解+特解法）①齐次方程：1．齐次解（自由响

4、应）§2.1微分方程的建立与求解③各种特征根情况下的齐次解形式为k重特征根，与有关的齐次解部分：ii)iii)与为共轭复根(一重)，对应齐次解部分：与iv)为共轭复根(k重)，对应齐次解部分为：i)互不相同实根：特征根决定了系统自由响应的全部函数形式§2.1微分方程的建立与求解[例3]：求下列微分方程的齐次解形式①解：=-1，=-2§2.1微分方程的建立与求解②[例3]：求下列微分方程的齐次解形式解：=-2(二重)，=-3§2.1微分方程的建立与求解[例3]：求下列微分方程的齐次解形式③(一重共轭)解：§2.1微分方程的建立与求解[例3]：求下列微分

5、方程的齐次解形式④解：=0(二重)，(一重共轭)§2.1微分方程的建立与求解[例3]：求下列微分方程的齐次解形式⑤解：(二重共轭)§2.1微分方程的建立与求解2．特解（强迫响应）：由激励形式和特征根情况共同决定①将激励代入微分方程右端，化简得自由项（t>0时）②根据自由项形式与特征根情况设特解，。见特解表<为什么要考虑特征根情况?>参见P46，表2-2注：为s次多项式；为次多项式，；,为l次多项式。为次多项式；③确定特解：特解代入方程，求特解中待定系数参见P46，表2-2注：为s次多项式；为次多项式，；,为l次多项式。为次多项式；§2.1微分方程的建

6、立与求解[例4]：求下列微分方程在不同激励下的特解①i)自由项=，0不是特征根，代入左端令对应系数相等可得：B0=0.5,B1=-0.5,B2=0.25特征根：解：§2.1微分方程的建立与求解ii)自由项=，t>0时为0，故特解自由项=，t>0时为，-2为1重特征根，iii)，代入左端令对应系数相等可得：B=1特征根：§2.1微分方程的建立与求解t>0时自由项=，1不是特征根，代入左端令对应系数相等可得：B=1/3v)iv)t>0时自由项=，-1为1重特征根，代入左端令对应系数相等可得：=特征根：§2.1微分方程的建立与求解[例4]：求下列微分方程的

7、特解②i)iii)ii)解：(一重共轭)特征根：§2.1微分方程的建立与求解t>0时自由项=，为1重特征根，=t(B1+B2代入左端令对应系数相等可得：B1=0,B2=0.5)，i)t>0时自由项=，不是特征根，=(B1+B2)，代入左端令对应系数相等可得：ii)t>0时自由项=，-1不是特征根，=B代入左端令对应系数相等可得：B=0.2iii)(一重共轭)特征根：§2.1微分方程的建立与求解[例4]：求下列微分方程的特解③i)ii)iii)解：(一重共轭)特征根：§2.1微分方程的建立与求解i)t>0时自由项=，不为特征根，=B1+B2B1=0,B

8、2=0.5iii)t>0时自由项=，-1不是特征根，=Bii)t>0时自由项=，为1重特征根，=t(B1+B