§4.1 微分中值定理

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1、§4.1微分中值定理应用二微分中值定理费马（Fermat）定理1罗尔(Rolle)定理2拉格朗日(Lagrange)中值定理3柯西(Cauchy)中值定理三小结与思考判断题一极值的概念1一、极值的概念1.极值问题的提出2一般地32.函数极值的定义定义4函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.注1：极值是函数的局部性概念，与最值不同；注2：极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.53.极值的必要条件费马定理注1:注2:费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔共同创立解析几何。因提出费

2、马大、小定理而著于世。6证明:7二、罗尔(Rolle)定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)使在(a,b)内至少存在一点设几何解释:8证9注意:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.例如10使2)定理条件只是充分的.本定理可推广为在(a,b)内可导,且在(a,b)内至少存在一点证明提示:设证F(x)在[a,b]上满足罗尔定理.11注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,又例如,12例1.证由介值定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,13例2.设且

3、在内可导,证明至少存在一点使提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.作辅助函数14例3.若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.15三、拉格朗日(Lagrange)中值定理(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使设16几何解释:证分析:弦AB方程为17作辅助函数拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.18拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式

4、又称有限增量公式.微分中值定理拉格朗日中值公式的几种变形：19推论1：证明：推论2：证明：20例4证21例5证由上式得22四、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:要证设23证:作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点24证法二：作辅助函数思考:柯西定理的下述证法对吗?两个不一定相同错!上面两式相比即得结论.且25柯西定理的几何意义:注意:弦的斜率切线斜率曲线C：26例6证分析:结论可变形为27例7.试证至少存在一点使

5、证:法1用柯西中值定理.则f(x),F(x)在[1,e]上满足柯西中值定理条件,令因此即分析:28例7.试证至少存在一点使法2令则f(x)在[1,e]上满足罗尔中值定理条件,使因此存在29五、小结Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.301.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键:利

6、用逆向思维设辅助函数费马引理31思考题试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.32思考题解答不满足在闭区间上连续的条件；且不满足在开区间内可微的条件；以上两个都可说明问题.33练习题343536练习题答案37思考与练习1.填空题1)函数在区间[1,2]上满足拉格朗日定理条件,则中值2)设有个根,它们分别在区间上.方程382.设且在内可导,证明至少存在一点使提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设393.若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.404

7、.思考:在即当时问是否可由此得出不能!因为是依赖于x的一个特殊的函数.因此由上式得表示x从右侧以任意方式趋于0.应用拉格朗日中值定理得上对函数41费马(1601–1665)法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的费马大定理:至今尚未得到普遍的证明.他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中提炼出来的.42拉格朗日(1736–1813)法国数学家.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来,数学

8、中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作,他是对分析数学产生全面影响的数学家之一.43柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》,《微积分在几何上的应用》等,有思想有创