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1、实验十五MATLAB与傅立叶级数一、实验目的掌握利用MATLAB进行傅立叶级数展开的方法和技能。二、相关知识在高等数学中，我们学习过傅立叶级数的性质和将函数展开为傅立叶级数。本实验讨论利用MATLAB软件来完成将函数展开为傅立叶级数的工作。我们知道，将一个函数展开为傅立叶级数：其实就是要求出其中的系数和，根据三角函数系的正交性，我们可以得到它们的计算公式如下：二、相关知识这样，结合MATLAB的积分命令int()就可以计算这些系数，从而就可以进行函数的傅立叶展开了。例1：求函数在上的傅立叶级数。解：先求出傅立叶系数，程序如下：clear其实就是要求出其中的系数和，
2、根据三角函数系的正交性，我们可以得到它们的计算公式如下：这样，结合MATLAB的积分命令int()就可以计算这些系数，从而就可以进行函数的傅立叶展开了。例1：求函数在上的傅立叶级数。解：先求出傅立叶系数，程序如下：clearsymsxnf=x^2a0=int(f,x,-pi,pi)/pian=int(f*cos(n*x),x,-pi,pi)/pibn=int(f*sin(n*x),x,-pi,pi)/pi运行结果为：f=x^2a0=2/3*pi^2an=2*(n^2*pi^2*sin(pi*n)-2*sin(pi*n)+2*pi*n*cos(pi*n))/n^3/
3、pisymsxnf=x^2a0=int(f,x,-pi,pi)/pian=int(f*cos(n*x),x,-pi,pi)/pibn=int(f*sin(n*x),x,-pi,pi)/pi运行结果为：f=x^2a0=2/3*pi^2an=2*(n^2*pi^2*sin(pi*n)-2*sin(pi*n)+2*pi*n*cos(pi*n))/n^3/pibn=0这里，我们得到了傅立叶系数的公式，只要代入具体的n就可以得到结果了。考虑到不同函数做傅立叶展开时，公式是一致的，因此，我们可以编制一个函数，专门用来计算函数的傅立叶系数，该函数如下：function[a0,a
4、k,bk]=myfly(f)symskxa0=int(f,x,-pi,pi)/pi;ak=int(f*cos(k*x),x,-pi,pi)/pi;bk=int(f*sin(k*x),x,-pi,pi)/pi;这里，我们得到了傅立叶系数的公式，只要代入具体的n就可以得到结果了。考虑到不同函数做傅立叶展开时，公式是一致的，因此，我们可以编制一个函数，专门用来计算函数的傅立叶系数，该函数如下：function[a0,ak,bk]=myfly(f)symskxa0=int(f,x,-pi,pi)/pi;ak=int(f*cos(k*x),x,-pi,pi)/pi;bk=i
5、nt(f*sin(k*x),x,-pi,pi)/pi;注意，该文件一定要以myfly.m为文件名。这样得到的是公式，如果要计算出具体的数值，则可以用下面的方法实现：现将ak，bk的计算公式分别编制成独立的函数，并以相应的文件名命名。这里先编制两个m文件，其内容分别为：%fourieran.mfunctionan=fourieran(f,n)symsxan=int(f*cos(n*x),x,-pi,pi)/pi;%fourierbn.m注意，该文件一定要以myfly.m为文件名。这样得到的是公式，如果要计算出具体的数值，则可以用下面的方法实现：现将ak，bk的计算公
6、式分别编制成独立的函数，并以相应的文件名命名。这里先编制两个m文件，其内容分别为：%fourieran.mfunctionan=fourieran(f,n)symsxan=int(f*cos(n*x),x,-pi,pi)/pi;%fourierbn.mfunctionbn=fourierbn(f,n)symsxbn=int(f*sin(n*x),x,-pi,pi)/pi;接着，再编写程序如下：clearsymsxnf=x^2a0=fourieran(f,0);a=zeros(1,10)b=zeros(1,10)forn=1:10functionbn=fourier
7、bn(f,n)symsxbn=int(f*sin(n*x),x,-pi,pi)/pi;接着，再编写程序如下：clearsymsxnf=x^2a0=fourieran(f,0);a=zeros(1,10)b=zeros(1,10)forn=1:10a(n)=fourieran(f,n);endforn=1:10b(n)=fourierbn(f,n);end即可完成前21个傅立叶系数的计算。三、实验内容1．求出函数在区间上的前11个傅立叶系数，即n＝5。2．将例1的程序进行扩展，使之成为一个能够对给定的函数，给定的系数个数，计算出所有傅立叶系数的通用程序，输入参数为函
8、数和表示系
