随机过程习题详解.pdf

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1、随机过程部分习题答案习题22.1设随机过程X(t)Vtb,t(0,),b为常数，V~N(0,1)，求X(t)的一维概率密度、均值和相关函数。解因V~N(0,1)，所以EV0,DV1，X(t)Vtb也服从正态分布，E[X(t)]E[Vtb]tEVbb22D[X(t)]D[Vtb]tDVt2所以X(t)~N(b,t)，X(t)的一维概率密度为2(xb)12f(x;t)e2t,x(,)，t(0,)2t均值函数m(t)E[X(t)]bX相关函数R(s,t)

2、E[X(s)X(t)]E[(Vsb)(Vtb)]X22E[stVbsVbtVb]2stbYt2.2设随机变量Y具有概率密度f(y)，令X(t)e，t0,Y0，求随机过程X(t)的一维概率密度及EX(t),R(t,t)。X12Yt解对于任意t0，X(t)e是随机变量Y的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，YtF(x;t)P{X(t)x}P{ex}P{Ytlnx}lnxlnxlnxP{Y}1P{Y}1F()Yttt对x求导得X(t)的一维概

3、率密度lnx1f(x;t)f()，t0YtxtYtyt均值函数m(t)E[X(t)]E[e]ef(y)dyX0相关函数R(t,t)E[X(t)X(t)]E[eYt1eYt2]E[eY(t1t2)]ey(t1t2)f(y)dyX12120112.3若从t0开始每隔秒抛掷一枚均匀的硬币做实验，定义随机过程2cos(t),t时刻抛得正面X(t)2t,t时刻抛得反面1试求：（1）X(t)的一维分布函数F(,x)和F(1,x)；21（2）X(t)的二维分布函数F(

4、,1;x,x)；12222（3）X(t)的均值m(t),m(1)，方差(t),(1)。XXXX11解（1）t时，X()的分布列为22101X()2P11220,x011一维分布函数F(,x),0x1221,x1t1时，X(1)的分布列为-12X(1)P11220,x11一维分布函数F(1,x),1x221,x211（2）由于X()与X(1)相互独立，所以(X(),X(1))的分布列为22X(1)-12X(1/2)011442111440,x10或x2

5、11,0x1,1x21214二维分布函数F(,1;x1,x2)21,0x1,x2或x1,1x2121221,x1,x212111（3）m(t)cos(t)2tcos(t)tX2221m(1)X2222121212(t)E[X(t)][EX(t)]cos(t)(2t)[cos(t)t]X222122122cos(t)2tcos(t)ttcos(t)24122cos(t)ttcos(t)412[cos(t

6、)t]229(1)X42.4设有随机过程X(t)Acos(t)Bsin(t)，其中为常数，A,B是相互独立且服从正态分布2N(0,)的随机变量，求随机过程的均值和相关函数。22解因A,B独立，A~N(0,)，B~N(0,)2所以，E[A]E[B]0,D[A]D[B]均值m(t)E[X(t)]E[Acos(t)Bsin(t)]Xcos(t)E[A]sin(t)E[B]0相关函数R(t,t)E[X(t)X(t)]E(Acos(t)Bsin(t))(Aco

7、s(t)Bsin(t))X1212112222EAcostcostBsint1sint2ABcost1sint2ABcost2sint11222costcostE[A]sintsintE[B]12122(costcostsintsint)121232cos(tt)122.5已知随机过程X(t)的均值函数m(t)和协方差函数B(t,t),(t)为普通函数，令XX12Y(t)X(t)(t)，求随机过程Y(t)均值和协方差函数。解均值m(t)

8、E[Y(t)]E[X(t)(t)]E[X(t)](t)m(t)(t)YX协方差C(t,t)R(t,t)m(t)m(t)Y12Y12Y1Y2E[Y(t)Y(t)]m(t)m(t)12Y1Y2E(X(t)(t)(X(t)(t)[m(t)(t)][m(t)(t)]1122X11X22E[X(t)X(t)]m(t)m(t)其