南开大学数学分析考研试卷答案.doc

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1、南开大学年数学分析考研试卷答案一、设其中有二阶连续偏导数，求.解：令u=x+y，v=x-y，z=x，则；二、设数列非负单增且，证明.解：因为an非负单增，故有.由；据两边夹定理有极限成立。三、设,试确定的取值范围，使f(x)分别满足：（1）极限存在（2）f(x)在x=0连续（3）f(x)在x=0可导解：（1）因为==极限存在，则2+知.(2)因为=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则.（3）所以要使f(x)在0可导则.四、设f(x)在R连续，证明积分与积分路径无关.解；令U=，则=又f(x)在R上连续

2、，故存在F（u）使dF(u)=f(u)du=.所以积分与路径无关。五、设f(x)在[a,b]上可导，且,证明证：因f(x)在[a,b]可导，则由拉格朗日中值定理，存在即有六、设单减而且收敛于0。发散a)证明b)证明其中；.证：（1）因为而单减而且收敛于0，根据狄利克莱判别法知（2）因为正项级数发散则又由上题知有界，故有七、设证明（1）在一致收敛（2）在连续证：（1）因收敛（可由狄利克莱判别法判出）故在t>=0上一致收敛；又在x>=1,t>=0 单调且一致有界由阿贝尔判别法知一致收敛（2）由上题知，F（t

3、）在一致收敛，且由在（x,t）上连续知F（t）在连续所以在连续，由的任意性得证