立体几何中的向量方法习题课.doc

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1、立体几何中的向量方法习题课基础再现1.空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个_________以及一个_________确定.2.直线l⊥平面α，取直线l上的方向向量a，则向量a⊥α，向量a叫做平面α的_________.3.若直线l的方向向量是u=(a1,b1,c1),平面α的法向量v=(a2,b2,c2)，则l∥α___________________________,l⊥α_____________________________________________.4.

2、a

3、2_________a2.

4、答案：1.定点　定方向　2.法向量3.u⊥v　v•u=0　a1a2+b1b2+c1c2=0u∥v　u=kv　(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2)　a1=ka2,b1=kb2,c1=kc24.=典例启示【例1】如右图，平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，则当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？解：设，，，由已知

5、a

6、=

7、b

8、，=(a+b+c)(a-b)=

9、a

10、2-

11、b

12、2+a•c-b•c=

13、a

14、

15、c

16、•cos60°-

17、b

18、

19、c

20、•

21、cos60°=0，∴CA1⊥BD.因而A1C⊥平面C1BD的充要条件是CA1⊥C1D.由=(a+b+c)•(a-c)=0

22、a

23、2+a•b-b•c-

24、c

25、2=0

26、a

27、2+

28、a

29、•

30、b

31、•cos60°-

32、b

33、•

34、c

35、•cos60°-

36、c

37、2=0(3

38、a

39、+2

40、c

41、)•(

42、c

43、-

44、a

45、)=0.∵

46、a

47、>0,

48、c

49、>0,∴

50、a

51、=

52、c

53、.∴当时，A1C⊥平面C1BD.启示：这是条件开放性问题，从结论出发，利用向量垂直的条件由线线垂直推出线面垂直.本题通过利用向量的几何运算法则及向量的数量积运算大大降低了探索难度.【

54、例2】如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点.(1)求证：平面B1EF⊥平面BDD1B；(2)求点D1到平面B1EF的距离.(1)证明：建立如右图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0),B(,,0),E(,,0),F(,,0),D1(0,0,4),B1(,,4).=(,,0),=(,,0),=(0,0,4),∴,.∴EF⊥DB,EF⊥DD1.∴EF⊥平面BDD1B1.∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.(2)解：设平面B1EF的法向量n=(x,y,

55、z),则,.又=(0,,4),∴n•=-x+y=0,n•=y+4z=0.∴x=y,.取y=1,得n=(1,1,).又=(,,0),∴点D1到平面B1EF的距离为.启示：利用法向量知识求点到平面的距离，必须找这个平面过这点的斜线段(如本例D1B1).【例3】如右图，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠D=∠DAB=90°，AB=4，CD=1,AD=2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标；(2)求异面直线PA与BC所成的角；(3)若PB的

56、中点为M，求证：平面AMC⊥平面PBC.(1)解：建立如右图所示的直角坐标系D—xyz,∵∠D=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2,∴A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,4,0).由PD⊥平面ABCD，得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角.∴∠PAD=60°.在Rt△PAD中，由AD=2，得.∴P(0,0,).(2)解：∵=(2,0,),=(-2,-3,0),∴.∴PA与BC所成的角为arccos.(3)证明：∵M为PB的中点，∴点M的坐标为(1,2,).∴=(-1,2,),=(1,1

57、,),=(2,4,).∵=(-1)×2+2×4+×()=0,=1×2+1×4+×()=0,∴,.∴PB⊥平面AMC.又PB面PCB,∴平面AMC⊥平面PBC.启示：异面直线所成角的范围为(0,).能力提高1.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，若∠CMN=90°，则异面直线AD1与DM所成的角为(　　)A.30°　　B.45°　　C.60°　　D.90°解析：建立如右图所示坐标系.设AB=a,AD=b,AA1=c,则A1(b,0,0),A(b,0,c),C1(0,

58、a,0),C(0,a,c),B1(b,a,0),D(0,0,c),N(,a,0),M(b,a,).∵∠CMN=90°,∴.∴.∴.∴.∴AD1⊥DM,即所成角为90°.答案：D2.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC、BD的交点，则C1O与A1D所成角为(　　)A.60°B.90°C.arccosD.arccos解析：建立如右图所示坐标系.设棱长为1,则A1(1,0,1),C1(0,1,1),B(