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1、函数的奇偶性对称现象蝴蝶雪花晶体引例：1.已知函数f(x)=x2,求f(-2),f(2),f(-1),f(1),及f(-x),并画出它的图象。解:f(-2)=(-2)2=4f(2)=4f(-1)=(-1)2=1f(1)=1f(-x)=(-x)2=x22.已知f(x)=x3,画出它的图象,并求出f(-2),f(2),f(-1),f(1)及f(-x)解:f(-2)=(-2)3=-8f(2)=8f(-1)=(-1)3=-1f(1)=1f(-x)=(-x)3=-x3思考:通过练习,同学们发现了什么规律?f(-2)=f(2)f(-1)=f(1)f(-x)=f(x)f(-2)=-f
2、(2)f(-1)=-f(1)f(-x)=-f(x)-xxf(-x)f(x)-xf(-x)xf(x)xyoxyo(x,y)(-x,y)(-x,-y)(x,y)1.函数奇偶性的概念:偶函数定义:如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫偶函数.奇函数定义:如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.对奇函数、偶函数定义的说明:(1).定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。[a,b][-b,-a]xo（2）.奇、偶函数定义的逆命题也成立，即：若f(x)为奇函数,则f(-x)=－
3、f(x)成立。若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)成立。（3）如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。练习1.说出下列函数的奇偶性:偶函数奇函数奇函数奇函数①f(x)=x4________④f(x)=x-1__________②f(x)=x________奇函数⑤f(x)=x-2__________偶函数③f(x)=x5__________⑥f(x)=x-3_______________说明：对于形如f(x)=xn的函数，若n为偶数，则它为偶函数。若n为奇数，则它为奇函数。例1.判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x3+2x(2)
4、f(x)=2x4+3x2解:∵f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x)即f(-x)=-f(x)∴f(x)为奇函数∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2∴f(x)为偶函数定义域为R解:定义域为R即f(-x)=f(x)⑴先求定义域，看是否关于原点对称;⑵再判断f(－x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立。☆说明：用定义判断函数奇偶性的步骤:练习2.判断下列函数的奇偶性(2)f(x)=-x2+1∴f(x)为奇函数∵f(-x)=-(-x)2+1=-x2+1∴f(x)为偶函数(1)f(x)=x-1x解：定义域为﹛x
5、x≠0﹜解：
6、定义域为R∵f(-x)=(-x)-1-x=-x+1x即f(-x)=-f(x)即f(-x)=f(x)(3).f(x)=5(4)f(x)=0解:(3)f(x)的定义域为R∵f(-x)=f(x)=5∴f(x)为偶函数解:(4)定义域为R∵f(-x)=f(x)=0又f(-x)=-f(x)=0∴f(x)为既奇又偶函数yox5oyx说明:函数f(x)=0(定义域关于原点对称），为既奇又偶函数。(5).f(x)=x+1(6).f(x)=x2x∈[-1,3]解:(5)∵f(-x)=-x+1-f(x)=-x-1∴f(-x)≠f(x)且f(-x)≠–f(x)∴f(x)为非奇非偶函数解:（6
7、）∵定义域不关于原点对称∴f(x)为非奇非偶函数yoxox-13y奇函数的图象(如y=x3)偶函数的图象(如y=x2)yxoaaP/(-a,f(-a))p(a,f(a))-ayxoaP/(-a,f(-a))p(a,f(a))-a(-a,-f(a))(-a,f(a))2.奇偶函数图象的性质:⑴奇函数的图象关于原点对称.反之,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数.⑵偶函数的图象关于y轴对称.反之,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.oyx例3已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在y轴左边的图象。解：画法略注
8、：奇偶函数图象的性质可用于：①.简化函数图象的画法。②.判断函数的奇偶性。本课小结:1.两个定义:对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(-x)=-f(x)f(x)为奇函数。如果都有f(-x)=f(x)f(x)为偶函数。2.两个性质:一个函数为奇函数它的图象关于原点对称。一个函数为偶函数它的图象关于y轴对称。思考题:2.设y=f(x)为R上的任一函数,判断下列函数的奇偶性:(1).F(x)=f(x)+f(-x)(2).F(x)=f(x)-f(-x)1.已知y=f(x)是偶函数，且在(-∞，0）上是增函数，则y=f(x)在(0,∞)上
