数值分析新课件教学作者教学专用 NA04c.ppt

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1、§4迭代法的收敛性/*ConvergenceofIterativemethods*/的收敛条件充分条件:

2、

3、B

4、

5、<1必要条件:？定义设：AAkk=lim是指ijkijkaa=)(lim对所有1i,jn成立。等价于对任何算子范数有对任意非零向量成立§4ConvergenceofIterativemethods定理设存在唯一解，则从任意出发，迭代收敛0kB证明：Bk0

6、

7、Bk

8、

9、0“”：对任意非零向量有“”：取则第i位对任意非零向量成立从任意出发，记，则ask收敛Buthey,youdon’tseriouslyexpectmetocomputeBkwhenever

10、Iwanttochecktheconvergence,doyou?§4ConvergenceofIterativemethods定理Bk0(B)<1证明：“”若是B的eigenvalue,则k是Bk的eigenvalue。则[(B)]k=[max

11、

12、]k=

13、mk

14、(Bk)

15、

16、Bk

17、

18、0(B)<1“”首先需要一个引理/*Lemma*/对任意>0,存在算子范数

19、

20、·

21、

22、使得

23、

24、A

25、

26、(A)+。由(B)<1可知存在算子范数

27、

28、·

29、

30、使得

31、

32、B

33、

34、<1。

35、

36、Bk

37、

38、

39、

40、B

41、

42、k0askBk0迭代从任意向量出发收敛Bk0(B)<1证明：对A做Jo

43、rdan分解，有，其中，，i为A的eigenvalue。令，则有易证：是由导出的算子范数。所以只要取<，就有

44、

45、A

46、

47、<(A)+。§4ConvergenceofIterativemethods定理（充分条件）若存在一个矩阵范数使得

48、

49、B

50、

51、=q<1,则迭代收敛，且有下列误差估计：①②证明：①②§4ConvergenceofIterativemethods定理（充分条件）若A为严格对角占优阵/*strictlydiagonallydominantmatrix*/则解的Jacobi和Gauss-Seidel迭代均收敛。证明：首先需要一个引理/*Lemma*/若A为SDD阵，则det(

52、A)0，且所有的aii0。证明：若不然，即det(A)=0，则A是奇异阵。存在非零向量使得记显然我们需要对Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代分别证明：任何一个

53、

54、1都不可能是对应迭代阵的特征根，即

55、IB

56、0。Jacobi:BJ=D1(L+U)aii0如果

57、

58、1则是SDD阵

59、IB

60、0HW:p.135#7关于Gauss-Seidel迭代的证明与此类似。§5松弛法/*RelaxationMethods*/换个角度看Gauss-Seidel方法：其中ri(k+1)=/*residual*/相当于在的基础上加个余项生成。下面令，希望通过选取合适的来加速收敛，

61、这就是松弛法/*RelaxationMethods*/。iikikikiarxx)1()()1(+++=w0<<1低松弛法/*Under-Relaxationmethods*/=1Gauss-Seidel法>1(渐次)超松弛法/*SuccessiveOver-Relaxationmethods*/§5RelaxationMethods写成矩阵形式：松弛迭代阵定理设A可逆，且aii0，松弛法从任意出发对某个收敛(H)<1。Ooooohcomeon!It’swaytoocomplicatedtocomputeH,andyoucan’texpectmetogetitsspectra

62、lradiusright!There’sgottabeashortcut…§5RelaxationMethods定理（Kahan必要条件）设A可逆，且aii0，松弛法从任意出发收敛0<<2。证明：从出发利用，而且收敛

63、i

64、<1总成立可知收敛

65、det(H)

66、<1

67、det(H)

68、=

69、1

70、n<10<<2§5RelaxationMethods定理（Ostrowski-Reich充分条件）若A对称正定，且有0<<2，则松弛法从任意出发收敛。Q:Whatfactordeterminesthespeedofconvergence?考察迭代：设B有特征根1、…、n对应n个线性无

71、关的特征向量。则从任意出发，可表为的线性组合，即~A:Thesmaller(B)is,thefastertheiterationswillconverge.对于SOR法，希望找使得(H)最小。§5RelaxationMethods定理若A为对称正定三对角阵，则且SOR的最佳松弛因子/*optimalchoiceofforSORmethod*/为，此时。例：，考虑迭代格式问：取何值可使