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1、(向量代数与空间解析几何)第七章空间解析几何与向量代数空间解析几何是学习多元微积分的重要基础，向量代数能使物理学、数学等领域内的许多问题的解简捷而直观.向量代数与解析几何的关系十分密切,一方面需要用解析几何的坐标法来进行向量的运算,另一方面向量代数又使解析几何有关问题的解法简明.平面解析几何是用代数的方法研究平面上几何曲线的一门学科.曲面和曲线及方程之间的联系.空间解析几何是用坐标方法研究空间曲面与曲线的一门学科.它通过空间坐标系为桥梁,建立了空间上的点,向量与坐标之间的对应关系,进一步建立了空间M1M2起点,M2为终点的向量,记作第一节向量及其线性运算一.向量的概念在
2、数学上,我们用有向线段来表示向量,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.例如以M1为,它的方向可以为任意.自由向量,即只研究它的大小和方向,而不考虑它的始点位置的向量.在这里凡是大小相等方向相同的向量认为是相等的,即向量a经过平移和b完全重合.向量a和向量b相等.记作a=b向量的大小叫做向量的模,向量a的模,记为
3、a
4、.模等于1的向量叫做单位向量.模为零的向量叫做零向量,记为0,零向量的起点和终点重合量共线.两个非零向量如果它们的方向相同或相反,称为平行向量,记为a∥b.由于零向量的方向认为是任意的,因此零向量与任何向量都平行.当平行向量的起点放在
5、同一点时,它们的终点和公共起点在同一直线上,因此.两向量平行又称两向二向量的线性运算法则)向量的加,减法和数乘向量的运算叫做向量的线性运算.1,向量的加法规定:两个向量的加法运算,以两向量为平行四边形的边,对角线为它们的和.(称为平行四边形法).把两向量的始点和终点相连接,它们的和是以一个向量的始点为始点,另一个向量的终点为终点的向量.(三角形为终点的向量即是所求的和向量.abcabcabcda+b+c+d向量加法的平行四边形法则与三角形法则是一致的,这从上面可明白地看出.但多个向量相加时,用三角形法则明显要方便些.因为相加的向量只要依次首尾相连.第一个向量的起点为起点
6、,最后一个向量的终点和结合律:(a+b)+c=a+(b+c).ca由图可知它们满足交换律a+b=b+a向量a上去2向量的减法设a为一向量,与a的模相等而方向相反的向量叫做a的负向量,记作-a,由此,我们规定两个向量a与b的差:a-b=a+(-b).特别是a-a=a+(-a)=0由三角形法则可知道,要从a减去b,只要把-b加到a-ba-b(2)分配律(λ+μ)a=λa+μaλ(a+b)=λa+λb3,数乘向量设λ是一个数,向量a与λ的乘积λa规定为模是
7、λ·a
8、=
9、λ
10、
11、a
12、的向量.当λ>0时,λa的方向与a相同,反之则相反.当λ=0时,λ·a是零向量.数乘向量符合下列运
13、算规则:(1)结合律λ(μa)=μ(λa)=(μλ)a根据数乘向量的规定,可以得到如下的结论:λ是常数.反之如果两个非零向量a和b平行,则有为a=λb.两个向量如果在同一条直线上,或在平行直线上,就称这两个向量共线或平行.(1)两个非零向量a和b平行的充分必要条件是a=λb,其中零向量,a∥b（表示同向或反向）证明:如果a=λb,依定义(自由向量,即只研究它的大小和方向,而不考虑它的始点位置的向量.在这里凡是大小相等方向相同的向量认为是相等的即向量a经过平移和b完全重合.向量a和向量b相等..记作a=b)a与b同方向或反向,即a和b平行,如果λ=0则a为零向量,零向量与
14、任何向量平行.所以向量a和b平行.反之,设a和b平行,如果a=b=0,则必有a=λb成立.如果a和b中有一个为零向量.设a=0,有a=0·b=0.设a,b都不为方向相同时λ为正号,相反时λ为负号.所以有a=λb。又(2)设a0表示与非零向量a同向的单位向量,那么a=
15、a
16、a0且a0和a同向,故a0是a的单位向量,于是a=
17、a
18、a0因为a≠0,所以
19、a
20、≠0,又o1u1u2uABe例1在u轴上取定一点o作为坐标原点,设A,B是u轴上坐标依次为u1,u2的两个点,e是与u轴同方向的单位向量,∴AB=OB-OA=u2e-u1e=(u2-u1)e证明:点A的坐标为u1,即OA的
21、值OA=u1,∴OA=u1e,OB=u2eCDAabBM解:由于平行四边形的对角线互相平分所以例2设M是平行四边形ABCD的对角线交点,且试用a和b表示向量例3:试证明三角形两边中点的连线平行且等于第三边的一半.ADBCE如果两个向量能表示为a=λb,则它们平行.所以DE∥BC(1)两个非零向量a和b平行的充分必要条件是a=λb,其中λ是常数.反之如果两个非零向量a和b平行,则必为a=λb.01pix上面的结论(1)是建立数轴的理论根据,我们知道,给定一个点,一个方向及单位长度,就确定了一条数轴.由于一个单位向量既确定了方向,又确定了单位
