资源描述：
《应用随机过程答案1.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2.（1）求参数为()p,b的Γ分布的特征函数，其概率密度为p⎧bp−1−bx⎪xe,x>0p()x=⎨Γ()pb>,0p是正整数⎪⎩0x≤0（2）求其期望和方差。（3）证明对具有相同参数b的Γ分布，关于参数p具有可加性。解（1）首先，我们知道Γ函数有下面的性质：Γ(p)=(p−)!1根据特征函数的定义，有p∞∞b()[]jtXjtx()jtxp−1−bxft=Ee=epxdx=exedxX∫−∞∫0()Γpp∞bp−1−()b−jtx=∫xedx0Γ()pppb1p−1−()b−jtx∞bp−1∞p−2−()b−jtx=xe+xedx0∫Γ()p−()b−j
2、tΓ()p()b−jt0pbp−1∞p−2−()b−jtx=∫xedxΓ()p()b−jt0=Lpb()p−!1∞0−()b−jtx=xedxΓ()p()p−1∫0b−jtppb()p−!1⎛b⎞==⎜⎟()p⎜⎟Γp()b−jt⎝b−jt⎠所以p⎛b⎞f()t=⎜⎟X⎜⎟⎝b−jt⎠（2）根据期望的定义，有pp∞∞bp−1−bxb∞p−bxm=E[]X=xp()xdx=xxedx=xedxX∫−∞∫0()()∫0ΓpΓpppb1p−bx∞bp∞p−1−bx=xe+xedx0∫Γ()p−bΓ()pb0pp∞bp−1−bxp∞p=∫xedx=∫p()xdx=b0
3、Γ()pb−∞b类似的，有pp[]2∞2∞2bp−1−bxb∞p+1−bxEX=∫−∞xp()xdx=∫0xΓ()pxedx=Γ()p∫0xedxppb1p+1−bx∞b()p+1∞p−bx=xe+xedx0∫Γ()p−bΓ()pb0pb()p+1∞p−bx=∫xedxΓ()pb0=Lp()p+1p∞bp−1−bx()p+1p∞=xedx=p()xdxb2∫0Γ()pb2∫−∞()p+1p=2b所以，X的方差为()2[]22p+1p⎛p⎞pDX=EX−mX=2−⎜⎟=2b⎝b⎠b（3）jt()jnte1−e5.试证函数f()t=为一特征函数，并求它所对应的随机
4、变(jt)n1−e量的分布。解.根据定理1.3.2（第10页）,我们只需证明是f(t)连续非负定，且f()0=1。注意到ejt()1−ejntejt1−(ejt)nejtn−11n()jktjktft=jt=jt=∑e=∑en()1−en1−enk=0nk=所以f()t连续且f()0=1.下面我们证明f(t)是非负定的（性质1.3.3，第8页）。对任意给定的自然数M，实数t,t,L,t以及复数12Ma,a,L,a，由于12MMMMMe(tji−tk)(1−ejn(ti−tk))A=∑∑f()ti−tkaiak=∑∑n()1−e()tji−tkaiaki==11
5、ki==11kMMMMe−(tji−tk)(1−e−jn(ti−tk))A=∑∑f()ti−tkaiak=∑∑n()1−e−()tji−tkaiaki==11ki==11kMMe()tjk−tii()1−ejn()tk−ti=∑∑()−()tjk−tiakaik==11in1−e=Ajlte所以A是实数。其次，容易证明对任意l=,2,1Ln,函数是非负定n的。因此，函数f()t是非负定的。f(t)是特征函数。下面我们求f(t)对应的随机变量的概率密度函数。根据定理1.3.1（第10页），n1∞−jtx1∞−jtxjktp()x=∫f()tedt=∑∫eedt2
6、π−∞2πnk=1−∞nn11=∑2πδ()x−k=∑δ()x−k2πnk=1nk=115.试证函数f()t=为一特征函数，并求它所对应的随机变量的21+t分布。解.容易证明f()t连续且f(0)=1，下面我们证明f(t)是非负定的。对任意给定的自然数M，实数t,t,L,t以及复数a,a,L,a，首先，12M12M由于MMMM1A=∑∑f()ti−tkaiak=∑∑2aiak，i==11ki==11k1+()ti−tk显然A是实数。其次，MMMM1A=∑∑f()ti−tkaiak=∑∑2aiaki==11ki==11k1+()ti−tkMM1≥2∑∑aiak1
7、+max{}()ti−tki==11ki,k12=a+a+L+a≥0{}()212M1+maxt−tiki,k所以f()t是非负定的。最后，根据定理1.3.1（第10页），1∞−jtx1∞1−jtx1p()x=ef()tdt=edt=x∈(−∞,∞)2π∫−∞2π∫−∞1+t22ex(2)7.设X,X,L,X相互独立服从正态分布Na,σ。试求n维向量12nn1(X1,X2,L,Xn)的分布，并求其均值向量和协方差矩阵，再求X=∑Xini=1的概率密度函数。(2)解.由于X,X,L,X相互独立服从正态分布Na,σ，n维向量12n(X,X,L,X)的均值向量为μ=
8、(a,a,L,a)，协方差矩阵为12n
