高三20空间中的平行关系.doc

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1、空间中的平行关系题型1：共线、共点和共面问题例1．（1）如图所示，平面ABD平面BCD＝直线BD，M、N、P、Q分别为线段AB、BC、CD、DA上的点，四边形MNPQ是以PN、QM为腰的梯形。试证明三直线BD、MQ、NP共点。证明：∵　四边形MNPQ是梯形，且MQ、NP是腰，∴直线MQ、NP必相交于某一点O。∵　O直线MQ；直线MQ平面ABD，∴　O平面ABD。同理，O平面BCD，又两平面ABD、BCD的交线为BD，故由公理二知，O直线BD，从而三直线BD、MQ、NP共点。αDCBAEFHG（2）如图所示，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC

2、分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线证明：∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面β．又∵ABα＝E，ABβ，∴E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点。同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，αbadcGFEAabcdαHK图1图2∴E，F，G，H四点必定共线。例2．已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面。证明：1o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A，但AÏd，如图1所示：∴直线d和A确定一个平面α。又设直线d与

3、a，b，c分别相交于E，F，G，则A，E，F，G∈α。∵A，E∈α，A，E∈a，∴aα。同理可证bα，cα。∴a，b，c，d在同一平面α内。2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图2所示：∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α。设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α。又H，K∈c，∴c,则cα。同理可证dα。∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．题型2：异面直线的判定与应用例3．已知：如图所示，ab＝a，bb，ab＝A，ca，c∥a。求证直线b、c为异面直线证法一：假设b、c共面于g．由Aa，a∥c知，Ac，而ab＝A，ab＝a，∴Ag，Aa

4、。又ca，∴g、a都经过直线c及其外的一点A，∴g与a重合，于是ag，又bb。又g、b都经过两相交直线a、b，从而g、b重合。∴a、b、g为同一平面，这与ab＝a矛盾∴b、c为异面直线．证法二：假设b、c共面，则b，c相交或平行。（1）若b∥c，又a∥c，则由公理4知a∥b，这与ab＝A矛盾。（2）若bc＝P，已知bb，ca，则P是a、b的公共点，由公理2，Pa，又bc＝P，即Pc，故ac＝P，这与a∥c矛盾综合（1）、（2）可知，b、c为异面直线。证法三：∵ab＝a，ab＝A，∴Aa。∵a∥c，∴Ac，在直线b上任取一点P（P异于A），则Pa（否则ba，又aa，则a

5、、b都经过两相交直线a、b，则a、b重合，与ab＝a矛盾）。又ca，于是根据“过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线”知，b、c为异面直线。例4．（1）已知异面直线a,b所成的角为70，则过空间一定点O，与两条异面直线a,b都成60角的直线有()条A．1B．2C．3D．4（2）异面直线a,b所成的角为,空间中有一定点O，过点O有3条直线与a,b所成角都是60，则的取值可能是（）A．30B．50C．60D．90解析：（1）过空间一点O分别作∥a,∥b。将两对对顶角的平分线绕O点分别在竖直平面内转动，总能得到与都成60角的直线。故过点O与a,b

6、都成60角的直线有4条，从而选D。（2）过点O分别作∥a、∥b，则过点O有三条直线与a,b所成角都为60，等价于过点O有三条直线与所成角都为60，其中一条正是角的平分线。从而可得选项为C。题型3：线线平行的判定与性质例5．设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直。上面命题中，真命题的序号（写出所有真命题的序号）.【解析】考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的

7、相关定理。真命题的序号是(1)(2)例6．两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证：MN∥平面BCE。证法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，则MP∥AB，NQ∥AB。∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF，∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45°∴Rt△MCP≌Rt△NBQ∴MP=NQ，故四边形MPQN为平行四边形∴MN∥PQ∵PQ平面BCE，MN在平面BCE外，∴MN∥平面BCE。证法二：如图过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC，∴连结NH，由BF=AC，FN=AM，得∴NH//AF//B