信息学奥赛之递归.ppt

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1、递归递归的定义所谓递归就是一个函数或过程可以直接或间接地调用自己。我们大家都熟悉一个民间故事：从前有一座山，山上有一座庙，庙里有一个老和尚正在给小和尚讲故事，故事里说，从前有一座山，山上有一座庙，庙里有一个老和尚正在给小和尚讲故事，故事里的故事是说……。象这种形式，我们就可以称之为递归的一种形象描述，老和尚什么时候不向下讲了，故事才会往回返，最终才会结束。再如：前面多次提到的求N!的问题。我们知道：当N>0时，N!=N*(N-1)!，因此，求N!的问题化成了求N*(N-1)!的问题，而求(N-1)!的问题又与求N!的解法相同，只不过是求阶乘的对象的值减去了1，

2、当N的值递减到0时，N!=1，从而结束以上过程，求得了N!的解。也就是说，求解N!的过程可以用以下递归方法来表示：在这里，为了定义n!，就必须先定义(n-1)!，为了定义(n-1)!，又必须先定义(n-2)!……，上述这种用自身的简单情况来定义自己的方式称为递归定义。一个递归定义必须是有确切含义的，也就是说，必须一步比一步简单，最后是有终结的，决不允许无限循环下去。上面的例子中，当N=0时定义一个数1，是最简单的情况，称为递归的边界，它本身不再使用递归定义。每一递归都有其边界条件。递归是从自身出发来达到边界条件。递归的调用在Pascal程序中，子程序可以直接自

3、己调用自己或间接调用自己，则将这种调用形式称之为递归调用。递归调用时必须符合以下三个条件：（1）可将一个问题转化为一个新的问题，而新问题的解决方法仍与原问题的解法相同，只不过所处理的对象有所不同而已，即它们只是有规律的递增或递减。（2）可以通过转化过程使问题回到对原问题的求解。（3）必须要有一个明确的结束递归的条件，否则递归会无止境地进行下去。下面我们通过一些例子，来解释递归程序的设计。programaa;vart:longint;n:integer;functionfac(n:integer):longint;beginifn=0thenfac:=1else

4、fac:=fac(n-1)*n;end;例1：按照以上的分析，用递归的方法来求N！的解。程序如下：测试数据：输入：inputn=5输出：5!=120beginwrite('inputn=');read(n);ifn<0thenwriteln('n<0,dataerrer')elsebegint:=fac(n);writeln(n,'!=',t)endend.如图展示了程序的执行过程：例2：读入一串字符倒序输出，以字符’&’为结束标志，用过程来实现。分析：由题意可知，读一串字符当然只能一个个地读入，要倒序输出，就要一直读到字符’&’。如输入的一段字符为ABCDE

5、FGH&’，则倒序输出的结果应该是’&HGFEDCBA’。（1）读入一个字符；（2）读（该字符后的）子串并倒序输出；（3）然后输出读入字符（指（1）读入的字符）（4）在（2）中若子串是空（即遇字符’&’），表示子串已完，不再处理子串。以上（2）表示一操作依赖另一操作，所以需要用递归调用。（4）表示已知操作（递归的终止）。程序如下：programaa;procedurereverse;varch:char;beginread(ch);ifch<>'&'thenreverse;write(ch);end;beginreverse;writeln;end.测试数据：

6、输入：abcdefghijklmn&输出：&nmlkjihgfedcba例3：利用递归，将一个十进制整数K转化为N进制整数（N<=10）。测试数据：输入：K和N的值193输出：转化后的N进制整数201programaa;varn,k:integer;proceduretentok(k,n:integer);varr:integer;beginr:=kmodn;k:=kdivn;ifk<>0thententok(k,n);write(r);end;beginread(k,n);tentok(k,n);writeln;end.递归的一般适合场合1．数据的定义形式是

7、按递归定义的.如：裴波那契数列的定义为：Fn=Fn-1+Fn-2F1=0F2=1beginread(n);s:=fib(n);writeln(s);end.测试数据：输入：5输出：3programaa;varn:integer;s:longint;FunctionFIB(N:integer):integer;BeginIfn=1thenFIB:=0Elseifn=2thenFIB:=1ElseFIB:=FIB(n-1)+FIB(n-2)End;2．某些问题虽然没有明显的递归关系或结构，但问题的解法是不断重复执行一种操作，只是问题规模由大化小，直至某个原操作（基

8、本操作）就结束，如汉诺塔问题，这种问题