学习教学教案第9章-3辛普森.ppt

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1、9.5.3米尔尼方法与辛普森方法考虑与(5.7)不同的另一个的显式公式其中为待定常数，可根据使公式的阶尽可能高这一条件来确定其数值.由（5.4）可知，再令得到1解此方程组得于是得到四步显式公式（5.11）称为米尔尼(Milne）方法.由于，故方法为4阶，其局部截断误差为（5.12）2米尔尼方法也可以通过方程（1.1）两端积分得到.若将方程（1.1）从到积分，可得右端积分通过辛普森求积公式就有（5.13）称为辛普森方法.它是隐式二步四阶方法，其局部截断误差为（5.14）39.5.4汉明方法辛普森公式是二步方法中阶数最高的，但它的稳定性较差，为了改善稳定性，考察另一类三步法

2、公式其中系数及为常数.如果希望导出的公式是四阶的，则系数中至少有一个自由参数.若取，则可得到辛普森公式.若取，仍利用泰勒展开，由（5.4），令则可得到4解此方程组得于是有（5.15）5称为汉明(Hamming)方法.由于，故方法是四阶的，且局部截断误差为（5.16）69.5.5预测-校正方法对于隐式的线性多步法，计算时要进行迭代，计算量较大.为了避免进行迭代，通常采用显式公式给出的一个初始近似，记为，称为预测(predictor)，接着计算的值(evaluation)，再用隐式公式计算，称为校正（corrector）.在（2.13）中用欧拉法做预测，再用梯形法校正，得到

3、改进欧拉法，它就是一个二阶预测-校正方法.一般情况下，预测公式与校正公式都取同阶的显式方法与隐式方法相匹配.例如用四阶的阿当姆斯显式方法做预测，再用四阶阿当姆斯隐式公式做校正，得到以下格式：7预测P：求值E：校正C：求值E：此公式称为阿当姆斯四阶预测-校正格式（PECE).依据四阶阿当姆斯公式的截断误差，对于PECE的预测步P有对校正步C有8两式相减得于是有下列事后误差估计容易看出9（5.17）比更好.但在的表达式中是未知的，因此计算时用上一步代替，从而构造一种修正预测-校正格式(PMECME):P：M：E：10C：M：E：注意：在PMECME格式中已将（5.17）的及

4、分别改为及.利用米尔尼公式（5.11）和汉明公式（5.15）相匹配，并利用截断误差（5.12），（5.16）改进计算结果，可类似地建立四阶修正米尔尼-汉明预测-校正格式（PMECME）：11P：M：E：C：M：E：12例7将例6的初值问题用修正的米尔尼-汉明预测-校正公式计算及，初值仍用已算出的精确解，即，给出计算结果及误差.解根据修正的米尔尼-汉明预测-校正公式可得其中1314误差从结果看，此方法的误差比四阶阿当姆斯隐式法和四阶汉明方法小，这与理论分析一致.159.5.6构造多步法公式的注记和例前面已指出构造多步法公式有基于数值积分和泰勒展开两种途径，只对能将微分方程

5、（1.1）转化为等价的积分方程的情形方可利用数值积分方法建立多步法公式，它是有局限性的.即前种途径只对部分方法适用.而用泰勒展开则可构造任意多步法公式，其做法是根据多步法公式的形式，直接在处做泰勒展开即可.不必套用系数公式（5.4）确定多步法（5.1）的系数及，因为多步法公式不一定如（5.1）的形式.另外，套用公式容易记错.16例8解初值问题用显式二步法其中试确定参数使方法阶数尽可能高,并求局部截断误差.解本题仍根据局部截断误差定义，用泰勒展开确定参数满足的方程.17由于18为求参数使方法阶数尽量高，可令即得方程组19解得，此时公式为三阶，而且即为所求局部截断误差.而所

6、得二步法为20例9证明存在的一个值，使线性多步法是四阶的.证明只要证明局部截断误差，则方法为四阶.仍用泰勒展开，由于2122当时，，故方法是四阶的.239.6方程组和高阶方程9.6.1一阶方程组前面研究了单个方程的数值解法，只要把和理解为向量，那么，所提供的各种计算公式即可应用到一阶方程组的情形.考察一阶方程组的初值问题，初始条件给为若采用向量的记号，记24则上述方程组的初值问题可表示为（6.1）求解这一初值问题的四阶龙格-库塔公式为式中25或表示为其中26这里是第个因变量在节点的近似值.考察两个方程的特殊情形：27这时四阶龙格-库塔公式具有形式（6.2）其中（6.3）

7、28（6.3）这是一步法，利用节点上的值，由（6.3）式顺序计算，然后代入（6.2）式即可求得节点上的.299.6.2化高阶方程为一阶方程组高阶微分方程（或方程组）的初值问题，原则上总可以归结为一阶方程组来求解.例如，考察下列阶微分方程（6.4）初始条件为（6.5）只要引进新的变量30即可将阶方程（6.4）化为如下的一阶方程组：（6.6）初始条件（6.5）则相应地化为（6.7）初值问题（6.4），（6.5）和（6.6），（6.7）是彼此等价的.31特别地，对于下列二阶方程的初值问题：引进新的变量，即可化为下列一阶方程组的初值问题：32针对