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1、7.1点到直线的距离公式若M(x0y0)是平面上一定点,它到直线l:Ax+By+C=0的距离d为试用向量方法给出简单的证明证明如图,M(x0,y0)是直线外一定点,P(x,y)是直线上任意一点,由直线l:Ax+By+C=0,可以取它的方向向量v=(B,-A).P(x,y)M(x0y0)nlOxy设n=(A,B),因为n·v=(A,B)·(B,-Aa)=AB-BA=0所以n⊥v,故称n为直线l的法向量.与n同向的单位向量所以,点M(x0y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离等于向量在n0方向上射影的长度.又因
2、为P(x,y)为l上任意一点,所以c=-(Ax+By)故例1求点P(1,2)到直线l：2x+y+1=0的距离。解由点到直线的距离公式，得所以点P(1,2)到直线l的距离为分析：以A为原点建立直角坐标系，应该有四个解.例2若向量=(2,3),=(1,k),k∈R，ΔABC为直角三角形，求k的值.yxACByxACB分析：在所求直线上任取一点P,则∥a,利用向量平行的条件写出方程.解:设点P(x,y)是所求直线上的任意一点,则=(x+1,y-2).例3求过点A(-1,2),且平行于向量a=(3,1)的直线方程.∥
3、a所求直线的方程为解:设点Q(x,y)是所求直线上的任意一点,则=(x-1,y+1).练习求过点P(1,-1),且与向量n=(4,-3)垂直的直线方程.所求直线的方程为小结：（1）点M(x0,y0)到直线l:ax+by+c=0的距离等于向量在l的单位向量n0上射影的长度,；（2）利用直线的法向量,用两向量垂直的充要条件可求直线方程.
