2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案第18讲 平几中的.doc

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1、第18讲平几中的几个重要定理（一）本节主要内容有Ptolemy、Ceva、Menelaus等定理及应用．定理1(Ptolemy定理)圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和；(逆命题成立)定理2(Ceva定理)设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是··=1．定理3(Menelaus定理)设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是··=1．定理4设P、Q、A、B为任意四点，则PA2-PB2=QA2-

2、QB2ÛPQ⊥AB．A类例题例1证明Ptolemy定理．已知：如图，圆内接ABCD，求证：AC·BD=AB·CD+AD·BC．分析可设法把AC·BD拆成两部分，如把AC写成AE+EC，这样，AC·BD就拆成了两部分：AE·BD及EC·BD，于是只要证明AE·BD=AD·BC及EC·BD=AB·CD即可．证明在AC上取点E，使ÐADE=ÐBDC，由ÐDAE=ÐDBC，得⊿AED∽⊿BCD．∴AE∶BC=AD∶BD，即AE·BD=AD·BC．⑴又ÐADB=ÐEDC，ÐABD=ÐECD，得⊿ABD∽⊿ECD．

3、∴AB∶ED=BD∶CD，即EC·BD=AB·CD．⑵⑴+⑵，得AC·BD=AB·CD+AD·BC．说明本定理的证明给证明ab=cd+ef的问题提供了一个典范．链接用类似的证法，可以得到Ptolemy定理的推广(广义Ptolemy定理)：对于一般的四边形ABCD，有AB·CD+AD·BC≥AC·BD．当且仅当ABCD是圆内接四边形时等号成立．例2证明Ceva定理．分析此三个比值都可以表达为三角形面积的比，从而可用面积来证明．证明：设S⊿APB=S1，S⊿BPC=S2，S⊿CPA=S3．则=，=，=，三式

4、相乘，即得证．说明用同一法可证其逆正确．链接本题也可过点A作MN∥BC延长BY、CZ与MN分别交于M、N，再用比例来证明．运用此定理可以比较简洁证明三条角平分线、三条中线、三条高等共点问题．例3证明Menelaus定理．N证明：作CN∥BA，交XY于N，则=，=．S1S2S3S4于是··=···=1．本定理也可用面积来证明：如图，连AX，BY，记SDAYB=S1，SDBYC=S2，SDCYX=S3，SDXYA=S4．则=；=；=，三式相乘即得证．说明用同一法可证其逆正确．Ceva定理与Menelaus定

5、理是一对“对偶定理”．链接本定理证明很多，可以运用三角、射影等知识；还可以运用此定理证明Ceva定理．例4证明定理4设P、Q、A、B为任意四点，则PA2-PB2=QA2-QB2ÛPQ⊥AB．证明先证PA2-PB2=QA2-QB2ÞPQ⊥AB．作PH⊥AB于H，则PA2-PB2=(PH2+AH2)-(PH2+BH2)=AH2－BH2=(AH+BH)(AH-BH)=AB(AB-2BH)．同理，作QH’⊥AB于H’，则QA2-QB2=AB(AB-2AH’)∴H=H’，即点H与点H’重合．PQ⊥ABÞPA2-P

6、B2=QA2-QB2显然成立．说明本题在证明两线垂直时具有强大的作用．链接点到圆的幂：设P为⊙O所在平面上任意一点，PO=d，⊙O的半径为r，则d2－r2就是点P对于⊙O的幂．过P任作一直线与⊙O交于点A、B，则PA·PB=

7、d2－r2

8、．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三

9、条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．情景再现1.如图，P是正△ABC外接圆的劣弧上任一点(不与B、C重合)，求证：PA=PB＋PC．2.设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于E．求证：=．3．．B类例题例5设A1A2A3…A7是圆内接正七边形，求证：=+．(1987年第二十一届全苏)分析注意到题目中要证的是一些边长之间的关系，并且是圆内接多边形，当然存在圆内接四边形，从而可以考虑用Ptolemy定理．证明连A1A5，A3A5，并设A1A2=a，A1A3=b，A1A4=c．本题即证=+

10、．在圆内接四边形A1A3A4A5中，有A3A4=A4A5=a，A1A3=A3A5=b，A1A4=A1A5=c．于是有ab+ac=bc，同除以abc，即得=+，故证．说明Ptolemy定理揭示了圆内接四边形中线段关系，在数学中应用非常广泛．例6(南斯拉夫，1983)在矩形ABCD的外接圆弧AB上取一个不同于顶点A、B的点M，点P、Q、R、S是M分别在直线AD、AB、BC与CD上的投影．证明，直线PQ和RS是互相垂直的，并且它们与矩形的某条对角