数论之同余问题.doc

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1、数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），知识点拨：三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。例如：

2、23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子

3、表示为：a≡b(modm)，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b(modm)，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m

4、(a－b)例如：20和8被自然数3除有相同的余数2。则20-8一定能被2整除【模块：三大余数定理的应用】【例1】有一个大于1的整数，除所得的余数相同，求这个数.【解析】这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余

5、定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．，，，的约数有，所以这个数可能为。【巩固】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【解析】(法1)，，，12的约数是，因为余数为3要小于除数，这个数是；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．，，，所以这个数是．【巩固】在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)【解析】我们知道18，33的最小公倍数为[18

6、，33]=198，所以每198个数一次．1～198之间只有1，2，3，…，17，198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同，而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99个这样的数．【巩固】(2008年仁华考题)一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和．那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？【解析】设这个三位数为，它除以17和19的商分别为和，余数分别为和，则．根据题意可知，所以，即，得．所以是9的倍数，是8的倍数．此时，由知．由于为三位数

7、，最小为100，最大为999，所以，而，所以，，得到，而是9的倍数，所以最小为9，最大为54．当时，，而，所以，故此时最大为；当时，，由于，所以此时最小为．所以这样的三位数中最大的是930，最小的是154．【例2】两位自然数与除以7都余1，并且，求．【解析】能被7整除，即能被7整除．所以只能有，那么可能为92和81，验算可得当时，满足题目要求，【巩固】学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？【解析】所求班级数是除以余数相同的数

8、．那么可知该数应该为和的公约数，所求答案为17．【巩固】(2000年全国小学数学奥林匹克试题)在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________．【解析】因为,，由于13511，13903，14589要被同一个数除时，余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整除．，所以所求的最大整数是98．【例2】(2003年南京市少年数学智力冬令营试题)与的和除以7的余数是________．【解析】找规律．用7除2，，，，，，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…,2的个数是3的倍数时，用7

9、除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为，所以除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以除以7余1．故与的和除以7的余数是．【巩固】(2004年南京市少