平面解析几何中的对称问题.doc

《平面解析几何中的对称问题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、平面解析几何中的对称问题李新林汕头市第一中学515031对称性是数学美的重要表现形式之一，在数学学科中对称问题无处不在。在代数、三角中有对称式问题；在立体几何中有中对称问题对称体；在解析几何中有图象的对称问题。深入地研究数学中的对称问题有助于培养学生分析解决问题的能力，有助于提高学生的数学素质。在平面解析几何中，对称问题的存在尤其普遍。平面解析几何中的对称问题在高考试题中更是屡见不鲜。本文将对平面解析几何中的几种常见对称问题作一些肤浅的探讨，以求斧正。平面解析几何中的对称问题主要有如下几种：点关于点的对称问题简称点点对称；点关于直线的对称问题简称点线对称；曲线关于点的对称问题简

2、称线点对称；曲线关于直线的对称问题简称线线对称。一、点点对称定理1　平面上一点关于点的对称点为，特别地，点关于点的对称点为。证明：显然为线段的中点，设，由中点坐标公式有：，即，故。例１　若点关于点的对称点为，求点的坐标。解：设，由定理１有，即。二、点线对称定理1　平面上一点关于直线的对称点为：。证明：先证明一般情况，即的情况。Y如图（一）,设，线段交直线于点，由点与点关于直线对称，故为线段的中点且，OX于是有：...且，又点在直线上，故有：，解此二元一次方程组得：，即。至于与的情况比较简单，证明略。特别地，有如下几种特殊情况：（1）平面上一点关于轴的对称点为：；（2）平面上一点

3、关于轴的对称点为：；（3）平面上一点关于直线的对称点为：；（4）平面上一点关于直线的对称点为：；（5）　平面上一点关于直线的对称点为：；（6）平面上一点关于直线的对称点为：；（7）平面上一点关于直线的对称点为：；（8）平面上一点关于直线的对称点为：特别地，点关于点的对称点为。若直线与椭圆有公共点，则有：...证明：由可令，代入得：整理得：即：，（其中为辅助角）又,即：特别地，当时，有推论1若直线与椭圆有公共点，则有：对于定理1，若令，则有定理2若直线与圆有公共点，则有：，整理得特别地，当时，有推论2若直线与圆有公共点，则有：下面略举数例说明其应用。一、求点到直线的距离例１求点到

4、直线的距离。解：设点到直线的距离为，构造以点为圆心，为半径的动圆，显然，当直线与动圆有公共点时，点到直线的距离为半径的最小值，即，由定理2知：，即：，...故即点到直线的距离为此即平面解析几何中点到直线的距离公式。一、求最值、函数的值域例１若且，则的最大值为（）A．B．C．D．（1990年全国高考试题）解：设，得直线，由定理１得，解得：、，即，故选（D）例２求函数的值域。解：设，，代入得：整理得，又关于的直线与关于的圆有公共点。由推论2得：解得：即所求函数的值域为。例３已知平面上两定点，为圆上任一点，求的最大值与最小值。解：依题意有...①又由得，代入①得：令，有，即关于的直线

5、与关于的圆有公共点。由定理2得：解得：故的最大值与最小值分别为。例４已知椭圆，求的最大值。解：令，整理得关于的直线与椭圆有公共点。由推论１得：，解得：故的最大值为１。例５（加拿大第七届中学生数学竞赛试题）试确定最大的实数，使得实数满足：解：由得：①又，代入①得：，即关于的直线与关于的圆有公共点。由推论２得：解得：，即：故最大的实数为。一、求代数式的范围例１若，且恒成立，求的取值范围。解：由已知得，设，得直线，...由定理２得：，解得：，即,即,又，故。例２　已知，求的取值范围。解：由可得①令，，代入①得：又令，将，代入得：即关于的直线与关于的圆有公共点，由推论２得：解得：，即例

6、３　若，且，（）求的范围。解：令，代入并化简得：，即又令，则有，即关于的直线与关于的圆有公共点，由定理２得：，解得即①②例４设满足方程组，若，试求的取值范围。（1986年全国高中数学联赛试题）解：由②—①得：，即，由①+②得：关于的直线与关于的圆有公共点。由推论２得：解得：故的取值范围为。四、解方程组及证明不等式例１　已知：求证：...证明：设，有，关于的直线与关于的圆有公共点。由定理2得：解得：，即例２　实数，且，求证。证明：设，有，关于的直线与关于的圆有公共点。由推论２得：又所以有故，即例３　且满足①②，证明都不是负数，也不能大于。（1957年北京市数学竞赛题）证明：由①得

7、由②得，关于的直线与关于的圆有公共点。由推论２得：解得：，又，故，同理，，所以，都不是负数，也不能大于。例４　已知且满足，证明中至少有一个大于。（1991年“曙光杯”数学竞赛题）证明：由知中至少有一个为正数，不妨设又由得：①...由得，代入①得：，即关于的直线与关于的圆有公共点。由定理２得：解得：，即：②又，由②得：，故所以中至少有一个大于。②①例５　若中，三边为，且试确定的形状。（1989年“缙云杯”数学邀请赛试题）解：由①２+②得：关于的直线与关于的圆有公共点。由推论２得：解得：，即，代