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时间:2020-03-24
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1、教学过程第1课时案例1辗转相除法与更相减损术导入新课思路1(情境导入)大家喜欢打乒乓球吧,由于东、西方文化及身体条件的不同,西方人喜欢横握拍打球,东方人喜欢直握拍打球,对于同一个问题,东、西方人处理问题方式是有所不同的.在小学,我们学过求两个正整数的最大公约数的方法:先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来.当两个数公有的质因数较大时(如8251与6105),使用上述方法求最大公约数就比较困难.下面我们介绍两种不同的算法——辗转相除法与更相减损术,由此可以体会东、西方文化的差
2、异.思路2(直接导入)前面我们学习了算法步骤、程序框图和算法语句.今天我们将通过辗转相除法与更相减损术来进一步体会算法的思想.推进新课新知探究提出问题(1)怎样用短除法求最大公约数?(2)怎样用穷举法(也叫枚举法)求最大公约数?(3)怎样用辗转相除法求最大公约数?(4)怎样用更相减损术求最大公约数?讨论结果:(1)短除法求两个正整数的最大公约数的步骤:先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是两个互质数为止,然后把所有的除数连乘起来.(2)穷举法(也叫枚举法)穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤:从两个数中较小数
3、开始由大到小列举,直到找到公约数立即中断列举,得到的公约数便是最大公约数.(3)辗转相除法辗转相除法求两个数的最大公约数,其算法步骤可以描述如下:第一步,给定两个正整数m,n.第二步,求余数r:计算m除以n,将所得余数存放到变量r中.第三步,更新被除数和余数:m=n,n=r.第四步,判断余数r是否为0.若余数为0,则输出结果;否则转向第二步继续循环执行.如此循环,直到得到结果为止.这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的,因而又叫欧几里得算法.(4)更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法,就是更相减损术.
4、《九章算术》是中国古代的数学专著,其中的“更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数,即“可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也.以等数约之.”翻译为现代语言如下:第一步,任意给定两个正整数,判断它们是否都是偶数,若是,用2约简;若不是,执行第二步.第二步,以较大的数减去较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数,继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.应用示例例1用辗转相除法求8251与6105的最大公约数,写出算法分析,画
5、出程序框图,写出算法程序.解:用两数中较大的数除以较小的数,求得商和余数:8251=6105×1+2146.由此可得,6105与2146的公约数也是8251与6105的公约数,反过来,8251与6105的公约数也是...6105与2146的公约数,所以它们的最大公约数相等.对6105与2146重复上述步骤:6105=2146×2+1813.同理,2146与1813的最大公约数也是6105与2146的最大公约数.继续重复上述步骤:2146=1813×1+333,1813=333×5+148,333=148×2+37,148=3
6、7×4.最后的除数37是148和37的最大公约数,也就是8251与6105的最大公约数.这就是辗转相除法.由除法的性质可以知道,对于任意两个正整数,上述除法步骤总可以在有限步之后完成,从而总可以用辗转相除法求出两个正整数的最大公约数.算法分析:从上面的例子可以看出,辗转相除法中包含重复操作的步骤,因此可以用循环结构来构造算法.算法步骤如下:第一步,给定两个正整数m,n.第二步,计算m除以n所得的余数为r.第三步,m=n,n=r.第四步,若r=0,则m,n的最大公约数等于m;否则,返回第二步.程序框图如下图:程序:INPUTm
7、,nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTmEND点评:从教学实践看,有些学生不能理解算法中的转化过程,例如:求8251与6105的最大公约数,为什么可以转化为求6105与2146的公约数.因为8251=6105×1+2146,可以化为8251-6105×1=2164,所以公约数能够整除等式两边的数,即6105与2146的公约数也是8251与6105的公约数.变式训练你能用当型循环结构构造算法,求两个正整数的最大公约数吗?试画出程序框图和程序.解:当型循环结构的程序框图如下图:...程序:INPUT
8、m,nr=1WHILEr>0r=mMODnm=nn=rWENDPRINTmEND例2用更相减损术求98与63的最大公约数.解:由于63不是偶数,把98和63以大数减小数,并辗转相减,如下图所示.98-63=3563-35=2835-28=728-7=2121-7=1414-7=7所以,98
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