李正元高等数学强化讲义.doc

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1、第一讲极限、无穷小与连续性一、知识网络图二、重点考核点这部分的重点是：①掌握求极限的各种方法．②掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法．③判断函数是否连续及确定间断点的类型（本质上是求极限）．31④复合函数、分段函数及函数记号的运算．§1极限的重要性质1．不等式性质设，且A＞B，则存在自然数N，使得当n＞N时有xn＞yn．设，且存在自然数N，当n＞N时有xn≥yn，则A≥B．作为上述性质的推论，有如下的保号性质：设，且A＞0，则存在自然数N，使得当n＞N时有xn＞0．设，且存在自然数N，当n＞N时有xn≥0，则A≥0．对各种函数极限有类似的性质．例如：设，且A＞B，则存在δ＞0，使得当＜δ

2、有f（x）＞g（x）．设，且存在δ＞0，使得当0＜｜x－x0｜＜δ时f（x）≥g（x），则A≥B．2．有界或局部有界性性质设，则数列｛xn｝有界，即存在M＞0，使得｜xn｜≤M（n=1，2，3，…）．设则函数f（x）在x=x0的某空心邻域中有界，即存在δ＞0和M＞0，使得当0＜｜x－x0｜＜δ时有｜f（x）｜≤M．对其他类型的函数极限也有类似的结论．§2求极限的方法1．极限的四则运算法则及其推广设，则只要设存在或是无穷大量，上面的四则运算法则可以推广到除“”，“”，“0·∞”，“∞－∞”四种未定式以外的各种情形．即：1°设，则.（）又B≠0，则．2°设，当x→x0时局部有界，（即，使得时）

3、，则．31设，当x→x0时｜g（x）｜局部有正下界，（即$δ＞0，b＞0使得0＜｜x－x0｜＜δ时｜g（x）｜≥b＞0），则．3°设，，则，又$δ＞0使得0＜｜x－x0｜＜δ时f（x）g（x）＞0，则．4°设，x→x0时g（x）局部有界，则（无穷小量与有界变量之积为无穷小．）2．幂指函数的极限及其推广设只要设存在或是无穷大量,上面的结果可以推广到除“1∞”，“00”及“∞0”三种未定式以外的各种情形．这是因为仅在这三个情况下是“0·∞”型未定式．1°设=0（0＜｜x－｜＜δ时f（x）＞0），，则2°设=A＞0，A≠1，=+∞，则3°设=+∞，，则【例1】设【分析】【例2】设｛an｝，｛bn

4、｝，｛cn｝均为非负数列，且则必有31（A）an＜bn对任意n成立．（B）bn＜cn对任意n成立．（C）极限不存在．（D）不存在．用相消法求或型极限【例1】求【解】作恒等变形，分子、分母同乘．【例2】求【解】作恒等变形，分子、分母同除得利用洛必达法则求极限【例1】设f（x）在x=0有连续导数，又求．【例2】求．31【例3】求．【例4】求．【例5】若，则．【例6】求．【例7】设a＞0，b≠0为常数且，则（a，b）=__________．【分析】∞－∞型极限．因此（a，b）=．分别求左、右极限的情形，分别求的情形【例1】设，求．【例2】求利用函数极限求数列极限【例1】求．【例2】求．【解1】3

5、1转化为求【解2】用求指数型极限的一般方法．转化为求（等价无穷小因子替换），余下同前．§3无穷小和它的阶1．无穷小、极限、无穷大及其联系（1）无穷小与无穷大的定义（2）极限与无穷小，无穷小与无穷大的关系其中o（1）表示无穷小量．在同一个极限过程中，u是无穷小量（u≠0）Þ是无穷大量．反之若u是无穷大量，则是无穷小量．2．无穷小阶的概念（1）定义同一极限过程中，a（x），b（x）为无穷小，设31定义设在同一极限过程中a（x），b（x）均为无穷小，a（x）为基本无穷小，若存在正数k与常数使得称b（x）是a（x）的k阶无穷小，特别有，称x→x0时b（x）是（x－x0）的k阶无穷小．（2）重要的等

6、价无穷小x→0时sinx~x，tanx~x，㏑（1+x）~x，ex－1~x；ax－1~xlna，arcsinx~x，arctanx~x；（1+x）a―1~ax，1―cosx~．（3）等价无穷小的重要性质在同一个极限过程中1°若a~b，b~gÞa~g．2°a~bÛa=b+o（b）3°在求“”型与“0·∞”型极限过程中等价无穷小因子可以替换【例1】求．【例2】设．【分析】由已知条件及．又在x=0某空心邻域f（x）≠0Þ，又3x－1~xln3．于是．【例3】设x→a时a（x），b（x）分别是x－a的n阶与m阶无穷小，又，则x→a时（1）a（x）h（x）是x－a的__________阶无穷小．（2

7、）a（x）b（x）是x－a的__________阶无穷小．（3）n＜m时，a（x）±b（x）是x－a的__________阶无穷小．（4）n＞m时是x－a的__________阶无穷小．31（5）k是正整数时，ak是x－a的__________阶无穷小．以上结论容易按定义证明。例如，已知，Þf（x）g（x）是x－a的n+m阶无穷小．【例4】设f（x）连续，x→a时f（x）是x－a的n阶无穷小，求证：是x－a的n+1阶无穷