离散数学教学教案- 集合的基数.ppt

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1、第7节集合的基数本章学习目标集合的基数是指集合的元素个数的多少，对有限集合来说，基数就是集合所包含元素的个数，两个有限集的“大小”相等是指它们包含的元素个数相同。对于无限集合，用等势来表示两个无限集的“大小”相等。第7节集合的基数7.1基数的概念7.2可数集和不可数集第7节集合的基数7.1基数的概念定义7.1设A、B为两个集合，如果存在从A到B的双射函数，则称A与B是等势的，记作A≈B。例7.1验证自然数集N与非负奇数集合M是等势的。证明因为N与M的元素之间可以作一双射函数，即f（n）=2n+1所以，N≈M。第7节集合的基数7

2、.1基数的概念定理7.1设A、B和C为任意的集合，则（1）A≈A；（2）若A≈B，则B≈A；（3）若A≈B，B≈C，则A≈C。定义7.2如果有一个从集合{0，1，…，n}到A的双射函数，则称集合A是有限的；如果集合A不是有限的，则称它是无限的。定理7.2自然数集合N是无限的。第7节集合的基数7.1基数的概念定义7.3（1）对于有限集合A，称与A等势的那个唯一的自然数为A的基数，记作cardA，即cardA=nAn（2）自然数集合的基数记作א0（读作阿列夫零），即cardN=א0（3）实数集合的基数记作א（读作阿列夫），即c

3、ardR=א第7节集合的基数7.2可数集和不可数集定义7.4与自然数集合等势的任何集合称为可数的（可列的）。可数集合的基数也用א0（读作阿列夫零）表示。例如，{2，4，6，8，…，2n，…}{-1，-3，-7，-9，…，-2n+1，…}{x为素数}，其中xN都为可数集。定理7.3A为可数集的充分必要条件是可以把A排列成A={a1，a2，…，an，…}的形式。第7节集合的基数7.2可数集和不可数集定理7.4任意无限集，一定包含可数子集。证明设A为无限集，从A中取出一个元素，记为a1，因A为无限集，A-{a1}也为无限集，所以从

4、A-{a1}中取出一个元素，记为a2，而A-{a1，a2}仍为无限集，所以又可以取出a3，重复这个过程，可得到A的可数子集。定理7.5任意无限集，一定与它的某一真子集等势。证明设无限集为A，根据定理7.3，A中包含可数子集B={a1，a2，…，an，…}，设M=A-B，定义A到A-{a1}的函数f，使得f在M上是恒等函数，即f（x）=x，xM，在B上，使得f（an）=an+1（n=1，2，3，…）。显然f是双射函数。因此定理得证。第7节集合的基数7.2可数集和不可数集定理7.6可数集的任意无限子集是可数集。证明设A={a1，

5、a2，…，an，…}为可数集，B为A的无限子集，将在A中而不在B中的元素删去，同时注意到B是无限集合，则有B={ai1，ai2，…，ain，…}，因此，B是可数的。定理7.7可数集与有限集的并是可数集。证明设A={a1，a2，…，an，…}为可数集，B={b1，b2，…，bm}为有限集，则A∪B={b1，b2，…，bm，a1，a2，…，an，…}，不妨设am+i=ai，（i=1，2，…），a1=b1，a2=b2，…，am=bm，则A∪B={a1，a2，…，an，…}，所以A∪B为可数集。第7节集合的基数7.2可数集和不可数集定

6、理7.8可数个可数集的并集是可数集。证明设可数个可数集为：A1={a11，a12，a13，…，a1n，…}A2={a21，a22，a23，…，a2n，…}A3={a31，a32，a33，…，a3n，…}…令A=A1∪A2∪A3∪…，对A中的元素排列如下：第7节集合的基数7.2可数集和不可数集定理7.8可数个可数集的并集是可数集。第7节集合的基数7.2可数集和不可数集定理7.9可数个可数集的并集是可数集。在上面元素的排列中，由左上端开始，其每一斜线上的每一元素的两足码之和都相同，依次为2，3，4，…，各斜线上元素的个数依次为1，

7、2，3，4，…，故A的排列为：a11，a21，a12，a31，a22，a13，…所以，A的可数的。第7节集合的基数7.2可数集和不可数集定理7.10设自然数集合为N，则笛卡儿积N×N是可数集。定理7.11有理数的全体组成的集合是可数集。定理7.12全体实数集合R是不可数集。第7节集合的基数本节小结本章介绍的主要内容有集合等势、集合的基数、有限集、无限集、可数集和不可数集、集合基数的比较等。集合的基数反映集合“大小”问题，我们首先建立一个集合“大小”的标准，我们用集合的基数来表示一个集合的大小。