线性方程组的消元解法.ppt

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1、§1线性方程组的消元解法第三章线性代数初步§2矩阵及其运算文科数学线性代数作为独立的学科分支直到20世纪才形成，然而它的历史却非常久远。最古老的线性代数问题是线性方程组的求解，在中国古代的数学著作《九章算术·方程》章中，已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等变换，消去未知量的方法。文科数学线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支，比如“以直代曲”是人们处理很多数学问题时一个很自然的想法。此外，很多实际问题的处理

2、，最后往往归结为线性问题，它比较容易处理；同时它也是研究理论物理和理论化学等不可缺少的代数基础知识。随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，矩阵在18～19世纪期间应运而生，为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。文科数学本节的主要内容1、线性方程组解的讨论及其求解方法（m,n未必相等）。文科数学2、数表的线性运算（重要的工具）。文科数学对二元一次方程组我们在中学已经学过它的解法，但是实际问题中会遇到未知量个数和方程个数都很多的一次方程组，且未知量个数和方程个数未必相同。§

3、1线性方程组的消元解法由于二元一次方程表示平面上的一条直线，所以将一次方程称为线性方程，将一次方程组称为线性方程组。文科数学线性方程组的一般形式否则称为非齐次线性方程组。则称方程组为(1)其中有n个未知量，m个方程，是未知量的系数，是常数项。若右端常数项均为零，齐次线性方程组；文科数学1、线性方程组是否有解？将要研究的问题3、有解时，如何求出全部的解？2、若有解，解是否唯一？研究的思路和途径1、在中学代数中的加减消元法的基础上，结合具体的线性方程组，导出求解一般方程组的通用方法：高斯消元法；2、从

4、实际例子出发，利用高斯消元法观察解存在与否的判断方法。文科数学求解线性方程组解：首先，用(2)消去(1)(3)中的未知量x1，(-2)×(2)+(1)，(-4)×(2)+(3)得例1由该方程组比原方程组少一个未知量。文科数学由(5)-(4)得由(-1/2)×(6)得最后，将(7)代回(4)中，即消去(4)中的x3，由2×(7)+(4)得其次，用(4)消去(5)中的未知量x2，这比原方程组又少了一个未知量。文科数学由(-1/3)×(8)得将(7)(9)代回(2)中，即消去(2)中的x2,x3，由(-

5、2)×(7)+(2)，(2)-(9)得故原方程组的解为文科数学从上述求解过程可以看出加减消元法的基本思想就是：利用方程之间的算术运算，每次消去一个未知量，得到一个比原方程组少一个未知量的方程组，一次一次进行下去，直至得到便于求解的一个形式简单的方程。为了便于将此方法应用到任意形式的方程组的求解，仍以例1为例，完整规范的写出它的解题步骤。文科数学解：第一步，为了便于运算，互换(1)与(2)的位置第二步，消去第一个方程下面的各个方程中的x1，(1)-2×(2)，(3)-4×(2)得求解线性方程组例11

6、文科数学(1)-2×(2)，(3)-4×(2)得第三步，消去第二个方程下面的各个方程中的x2，(5)-(4)得文科数学此时方程组中下一个方程比上一个方程少一个未知量，形状如阶梯，称此方程组为阶梯形方程组。第三步，消去第二个方程下面的各个方程中的x2，(5)-(4)得文科数学第四步，使(6)中的x3的系数变为1，(-1/2)×(6)得第五步，消去(2)(4)中的x3，(2)-2×(7)，(4)+2×(7)文科数学第五步，消去(2)(4)中的x3，(2)-2×(7)，(4)+2×(7)(-1/3)×(

7、9)得第六步，使(9)中的x2的系数变为1，文科数学(-1/3)×(9)得第六步，使(9)中的x2的系数变为1，第七步，消去(8)中的x2，(8)-(10)得文科数学第七步，消去(8)中的x2，(8)-(10)得由此得到了方程组的解。思考：上述求解过程用到了哪些方法，从而逐步对原方程组进行消元变简？文科数学用到了如下三种变换1、交换两个方程的顺序；3、用一个数乘某个方程后加到另一个方程上；2、用一个非零常数乘某个方程；称上述三种变换为线性方程组的初等变换。初等变换的作用在于将方程组的形式变的简单易

8、求，且新方程组与原方程组是同解方程组。用消元法求解线性方程组的实质对方程组施行一系列同解的初等变换，将它逐步化简以求其解。文科数学思考：方程组的解和未知量符号有没有关系？那和什么有关呢？没有和未知量的系数以及右端的常数项有关！问题：在用初等变换求解方程组时，本质上是对什么在运算？什么在变化？未知量的系数以及右端的常数项！基于此，在解题时可将未知量舍去不写；此时就出现了由未知量系数以及右端常数项组成的数表：经初等变换求解线性方程组的这一思路，反映了一般线性方程组的求解规律。文科数学此