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1、1、实验1・数值计算方法上机题目病态问病态问实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题C希望读者通过本实验对此有…个初步的体会。数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法來解决，当然一般要付出一些代价(如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等)。问题提出：考虑一个高次的代数多项式20（E1-1）p（兀）=（兀_1）（兀_2）..・（兀_20）=（兀_£）“1显然该多项式的全部根为I，2,…，
2、20,共计20个，且每个根都是单重的(也称为简单的)。现考虑该多项式方程的一个扰动（E1-2）其中£是一个非常小的数。这相当于是对(E1J)中£9的系数作一个小的扰动。我们希望比较(E1J)和(El・2)根的差别，从而分析方程(E1J)的解对扰动的敏感性。实验内容：为了实现方便,我们先介绍两个Matlab函数：“roots”和“poly”，输入函数u=roots(a)其中若变量a存储斤+1维的向量，则该函数的输出"为一个〃维的向量°设a的元素依次为…,，则输出u的各分量是多项式方程a}xn+a2xn~]+.・.a“x+o“+]=0的全部根，而函数b=poly(v)的
3、输出b是一个n+1维变量，它是以n维变量v的各分量为根的多项式的系数。可见“roots”和“Poly”是两个互逆的运算函数.ve=zeros(l,21);ve(2)=ess;roots(poly(l:20))+ve)上述简单的Matlab程序便得到(E1-2)的全部根，程序中的“ess”即是(E1-2)中的£。实验要求：(1)选择充分小的ess,反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。如果扰动项的系数£很小，我们自然感觉(E1-1)和(El・2)的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现？表明有些解关于如此的扰动敏感性如何？1・如程序Wjj-l.m所示，给#
4、9的系数一个扰动时，解会产生变化。扰动越小，解与真实值越接近。当扰动增加到一定值，解会变成负数，在所做的给的系数一个扰动的实验中，当该扰动大于10A-ll时，产生复数解。2•将扰动项改成解同样会发生变化。扰动越小，解的变化越小，当扰动增加到一定值，解会变成负数，在所做的给£严的系数一个扰动的实验中，当该扰动大于10人・9时，产生复数解。3.解关于Q的导数的绝对值越大，解关于a的扰动越敏感。18、17、16、15、14、13、12、11等根关于a更敏感。formatshortve=zeros(1z21);a=zeros(20,4);k=l;fori=-20:5:-5e
5、ss=10Ai;ve(2)=ess;a(1:20zk)=roots((poly(1:20))+ve);k=k+l;end2、实验2。多项式插值的振荡现象，即插值的龙格(Runge)现象问题提出:考虑在一个固定的区间上用插值逼近一个函数。显然，拉格朗日插值中使用的节点越多,插值多项式的次数就越高、自然关心插值多项式的次数增加时，厶〃(兀)是否也更加靠近被逼近的函数。龙格给出的一个例子是极著名并富有启发性的。设区间［-1,1］上函数/(兀)=1+25.?实验内容:考虑区间［-1,1］的一个等距划分，分点为则拉格朗日插值多项式为厶"（兀）=工/=01+25#其中的厶⑴，心
6、0,1,2,...,是n次拉格朗日插值基函数。实验要求：(I)选择不断增大的分点数目〃=2,3,...,画出原函数/(兀)及插值多项式函数厶〃(朗在［-1,1］上的图像，比较并分析实验结果。多项式插值的振荡现象，即插值的龙格(Runge)现象1•当你分别取5,11,21,41时，原函数f(x)及插值多项式函数Ln(x)在［・1,1］上的图像如下：(1260少77•(3225?/754+11090807060504030201nllllftlfll1Q•0.61ft1At■•08-06-04-02002040608-1-08>06-04-02002040608X图1•
7、原函数图像f(x)图2•插值多项式函数L5(x)图3•插值多项式函数Lh(x)图4.插值多项式函数L2i(x)(9565562660294987457139025x4)/15382600162639488431354-1图5•插值多项式函数L41(x)从图中可以看出随着n的增加，大约在区间［-0.6,0.6］±差值函数与原函数越来越逼近，但在两段出现振荡现象。这说明，插值节点个数并不是越多越好。2•对于函数而言，n分别取6,11,21时原函数h(x)及插值多项式函数Ln(x)在［・5,5］上的图像如下图6•原函数图像h(x)图7.L6(x)图8.Ln(x)图9.
