对凹四边形的几点思考（ X页）.doc

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1、凹多边形的几点思考学习四边形这节时，老师详细地介绍了凸四边形，并提及另一种多边形——凹多边形。这种几何图形深深得吸引了我，于是我利用课余时间，做了一些探索和总结，发现许多有关凸四边形的定理和命题，在凹四边形上也同样适用：一、顺次连接凹四边形的各边屮点，得到的图形是平行四边形。（凸四边形的各边屮点顺次连接，得到的图形是平行四边形。）己知：如图11:四边形ADCB是任意凹四边形，点E,F,G,H分别是是AB,BC,CD,DA己知：如图2—11：四边形ACBD是任意凹四边形。求证：ZA+ZABC+ZC+Z1=360°证

2、明：如图，连接BD.VZA+ZABD+ZADB=180°,ZC+ZCBD+ZCDB=180°AZA+ZABD+ZADB+ZC+ZCBD+ZCDB=360°ABA的中点,连接EF,FG,GH,HE.求证：四边形EHGF是平行四边形。证明：如图，连接AC.・・•点E,F,G,H分别是是AB,BC,CD,DA的中点・・・EF,HG分别是AABC与AACD的中位线・・・EFgHG・・・四边形EFGH是平行四边形。二、凹四边形的内角和为360。（凸四边形的内角和为360°）0即：ZA+ZABC+ZC+Z1=360°S2-1

3、1另--种证明方法如下：如图2-12连接ACZDAB+ZABC+ZBCD+Z1=ZDAB+ZABC+ZBCD+(360°-ZADC)=ZDAB+ZABC+ZBCD+(180°-ZADC)+180°=(ZDAB+ZDAC)+ZABC+(ZBCD+ZDCA)+180°二ZCAB+ZABC+ZBCA+180°=180°+180°=360°综上所述：凹四边形的内角和为360。.三、凹四边形的外角和为360°（凸四边形的外角和为360°）・・•四边形的内外角之和为180°・••凹四边形的外角=4X180°-360°=360

4、°经过更加深入的探究，我还发现：凹多边形和凸多边形之问也有许多的相似之处，并且有较多的证明方法：一、凹〃边形的对角线数为丛口（凸〃边形的对角线数为邑口）22图形边数对角线数丄4255612nn（n一3）2二、凹〃边形内角和为180-（h-2）（凸〃边形的内角和为180-（n-2））由上述探讨可知当斤二4时，该结论成立•现以凹五边形为例探究.（1）分割法图3-11已知：如图3—11,五边形ABCDE是任意凹五边形.求证：ZA+ZB+ZC+ZD+Z1二540。证明：过点E作EF丄BC,垂足为点F。连接AF,DF。VZ

5、FAB+ZABF+ZBFA=180°,ZFAE+ZAEF+ZEFA=180°,ZDEF+ZEFD+ZFDE=180°,ZDCF+ZCFD+ZFDC=180°AZEAB+ZB+ZC+ZCDE+Z1=(ZFAB+ZFAE)+ZB+ZC+(ZFDC+ZFDE)+(ZAEF+ZDEF)二360°-ZEFB+360°-ZEFC又・・•ZEFB+ZEFC=ZBFC=180°ZEAB+ZB+ZC+ZCDE+Z1二720°-180°=540°由此证明可知•点F亦可以为边BC丄的任意点.即所求证的命题正确。（2）轴对称法证明：如图

6、3-12,il点A,D作直线L,以直线L为对称轴，作点E的对称点H.连接AH,DH.分别延长AE,DE交BC于点F,G.VZH=ZAED（轴对称的性质）ZFEG^ZAED・・・ZH=ZFEG又・・・Z1=Z2=Z3+Z5=Z4+Z6二180°X(5-2)HAZEAB+ZB+ZC+ZCDE+Z1+Z2+ZFEG=ZEAB+ZB+ZC+(Z3+Z5)+ZCDE+(Z4+Z6)+ZH二180°X(5-2)二ZIIAB+ZB+ZC+ZCDII+ZII二540°即所求证的命题正确。H//**注:若点A,B,H共线,如图3-

7、22・上述证明过程仍然成立.由此可推导得，凹〃边形内角和=180°-（n-2）综上所述，该结论成立.三、凹多边形外角和为360°(凸多边形的外角和为360°)・・•任意多边形的内外角之和为180°・•・凹多边形的外角二兀・180-(/:-2)-180=2x180°=360数学世界的领域，我们要去无限的探索，始终事实将会被我们所揭开。我相信,在更加全面、深入的探究下，会发现更多凹多边形的奥秘。