概率论第二版杨振明课后题答案.doc

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1、2.1.习题1．设随机变量的分布函数为，证明也是随机变量，并求的分布函数．证明：由定理2.1.3随机变量的Borel函数仍为随机变量，故也是随机变量．的分布函数为当时，，故；当时，因此，的分布函数为．3．假定一硬币抛出正面的概率为，反复抛这枚硬币直至正面与反面都出现过为止，试求：（1）抛掷次数的密度阵；（2）恰好抛偶数次的概率．解：（1）表示前次都出现正(反)面，第次出现反(正)面，据题意知，，所以，抛掷次数的密度阵为(2)恰好抛掷偶数次的概率为：Rx4．在半径为R的圆内任取一点（二维几何概型），试求此点到圆心之

2、距离的分布函数及．解：此点到圆心之距离的分布函数为当时，，；当时，；当时，故的分布函数为．．5．在半径为的车轮边缘上有一裂纹，求随机停车后裂纹距地面高度的分布函数．解：当时，，；当裂纹距离地面高度为时，分布函数为；当裂纹距离地面高度为时，分布函数为；当裂纹距离地面高度为时，分布函数为；当时，；则的分布函数为6．已知随机变量的密度函数为试求：(1)的分布函数，（2）．解：（1）当时，；当时，；当时，；当时，；则的分布函数为（2）7．设，（1）求使为密度函数；（2）若以此为密度函数，求使．解：（1）由密度函数的性质，

3、知解得，．（2）【法一】根据概率的非负性，，当时，，显然不成立；当时，而，即，解得，．【法二】的分布函数为当时，，上式不成立．当时，则，解得，．8.设是连续型分布函数，试证对任意有.证：等式左边==因是连续的分布函数则上式积分可以交换．则上式交换积分次序得．2.2习题1．向目标进行20次独立的射击，假定每次命中率均为0.2．试求：（1）至少命中1次的概率；（2）至多命中2次的概率；（3）最可能命中次数．解：令表示命中次数，这是=20重试验，每次命中率=0.2，命中次数服从B(20,0.2)分布．(1)至少命中一次

4、的概率．(2)至多命中两次的概率．(3)在二项分布中，时，最大，故=4时最大，即最可能命中的次数为4次．2．同时掷两枚骰子，直到某个骰子出现6点为止，求恰好掷次的概率．解：掷一枚骰子出现6点的概率是，同时出现6点的情况有两种：都是6点概率为×，其中一个是6点的概率为2××．因此掷两枚骰子出现6点的概率是．以表示某骰子首次出现6点时的投掷次数，题目要求恰好掷次则前次都没有出现6点，于是所求概率为．3．某公司经理拟将一提案交董事代表会批准，规定如提案获多数代表赞成则通过．经理估计各代表对此提案投赞成票的概率为0.6，

5、且各代表投票情况相互独立．为以较大概率通过提案，试问经理请3名董事代表好还是请5名好？解：即求请3名董事获多数赞成通过的概率大还是请5名董事通过的概率大．令表示3名董事代表对提案的赞成数，则分布．多数赞成，即令表示5名董事代表对提案的赞成数，则分布．多数赞成，即因此，请5名董事代表好．4．甲、乙二队比赛篮球．假定每一场甲、乙队获胜的概率分别为0.6与0.4，且各场胜负独立．如果规定先胜4场者为冠军，求甲队经场(=4,5,6,7)比赛而成为冠军的概率．再问与赛满3场的“三场两胜”制相比较，采用哪种赛制甲队最终夺得冠

6、军的概率较小？解：令表示甲成为冠军所经过比赛的场数．对甲先胜四场为冠军：表示前场中胜三场，第场必胜．则因此，，=4,5,6,7对甲先胜四场成为冠军的概率是．对赛满3场的“三场两胜”制：甲前两场中胜一场，第三场必胜则．因此，进行甲先胜4场成为冠军的概率较大．5．对重试验中成功偶数次的概率．解：记为一次试验中事件成功的概率，为失败的概率．由①②（①-②）/2得：7．在可列重试验中，以表第次成功的等待时间，求证与有相同的概率分布．解：这是一个几何分布．表示第一次成功到第二次成功的等待时间．如果第一次成功到第二次成功进行

7、了次试验，而第一次成功进行了次试验．根据几何分布的无记忆性可得：,因此，与有相同的概率分布．8.（广义试验）假定一试验有个可能结果，并且，．现将此试验独立地重复次，求恰出现次，……，恰出现次(，)的概率．解：设一次试验的可能结果为，它们构成一完备事件组，，，则在次重复独立试验中分别出现次的概率为．（恰出现次，……，恰出现次，则组成元序列，上述次试验结果由分成组，共有种结果，每种结果出现的概率是，则次Bernoulli试验中恰出现次，……，恰出现次(，)的概率概率是）2.3Poisson分布1．假定螺丝钉的废品率，

8、试求一盒应装多少只才能保证每盒中正品在100只以上的概率不小于80%．解：设每盒应装100+只，为使每盒有100只以上的好钉，则每盒次品的个数应-1，故由于值不大，有1.5,0.80,查表，当时,=0.557825；当时,=0.8,则=3时，满足题设条件，故每盒中应装103只．2．据以往的记录，某商店每月出售的电视机台数服从参数的Poisson分布．问月初应库存多少台电视