变用点到直线的距离公式.pdf

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1、中学生数学·2014年1O月上·第499期(高中)学甘肃省会宁县第一中学(730799)韩旺鼎乡基在解析几何中，点(z。，Y。)到直线口+by解根据公式(I)，易得础+c—o的距离===．在代数中．J。z+I≤·~／=胃一，口口1-口即l口+6I的最大值·．0c=}灵活变用这一公式，对于求解一类条件不等式t这道题很多同学会错误地这样来作：和变量的取值范围，常能收到形象直观、驭繁az~by≤+为简的效果．下面给出三类变用，并分别举例说明．n+b。．．27+Y。，2+一■十—一一—一’变用一[ax。~byo[，yAcM

2、(xo~o)即1n+6l的最大值为．，+2o2(工)，其几何实际上，当且仅当n—，b—Y时，上面的意义是：过原点的直线z＼＼<／

3、等号才成立，但因为7"P'l、是两个互不相关的常外的任意一点到该直线0＼⋯数，如果它们不相等，那么n—，b—Y就不能的距离不大于这点到原同时成立，从而ln+byI也就取不到最大值点的距离．如图．1"1+将关系式(I)两边平方，即得柯西不等式丁(ax。~by。)≤(口+6)(z5+)，这是一道应例2已知椭圆的方程为xzyZT一1，求用广泛而且重要的著名不等式．例1已知n+b一，z+Y一，求

4、一33，的取值范围．In+6l的最大值．(下转第8页)+-+一+一+一+-+-+-+一+一+-+一—●一-+(上接第6页)角度4分离法是求参数取值问题的比较则g(n)是关于n的一次函数或常函数，且行之有效的解题办法，合理分离变量可使问题一次项的系数为(z一1)。>1o，更易于求解．‘．．(1)当z一1：：：O时，，(z)一O不合题意；解法4由，(z)一n一(2a+1)+口+1寸(2)当z≠1时，(一1)>O，g(口)为[一2，2]<0，可得a(z一1)

5、n∈[一2，23，，()<0恒成立，(2)当≠1时，(x-1)>o，则口2，解得1<<昔．■1厶综上(1)、(2)可知，实数z的取值范围是0r1综上可知所求实数z的取值范围是(1，昔)．(1，詈)．厶(责审余炯沛)L~t_：zxss．cbpt．cnki．net·7·～⋯-najou⋯--net．cn中学生数学·2014年1O月上·第499期(高中)(

6、上接第7页)(1)当a+b>c时方程组有两组实根；寸解令z一5cosO，Y一4sinO，(2)当Ⅱ+b。一c时方程组有一组实根；则I一3yl—l5cosO-12sinOl(3)当a+6>c时方程组无实根．≤_√5。+12。·~／sin+COS。一13．证明要使方程组的根存在上述三种情鏊故一13≤一3≤13．况，只需直线nz+6+c=0和圆+一1有变用二若ax+by+c一0，则无公共点的情况，所以当原点0(0，0)到直线兰±鱼±!nz+6+c一0的距离依次小于、等于、大于1_{≤(z。-x)+(。一)(II)．、时，

7、该方程组有两组实根、有一组实根、无实这是一个带一般性的关系式，其几何意义是：根，即当直线z外一点到直线z上各点的斜线和垂线(1)~／<~研一1时，即当中，垂线段最短．Ⅱ。+b。’。。’例3已知z+Y+I=0，求证：a+b>f时，方程组有两组实根；≥老·(2)、／一耳__一1时，即当n+6。。。’证明‘．‘点(1，1)在直线z+Y+1—0a+6。一f。时，方程组有一组实根；外，‘(3)>珥一1时，即当．．由(II)式得~／n。+b。。。。。≥一3．a+6

8、+例6求函数一的值域．一2x+4y的最小值．解设—a，则原函数式可变形为解由所给函数关系式可得aCOS．；C一2sinx+2a+1—0．+5一(x-1)+(+2)．这个式子表示点(COSX，sinx)既在直线a2c点(1，一2)在直线z一2y@2—0外，一2+2口+1—0上，又在圆3C+一1上，故有I_『≥±．即直线。一2+2a+1—0和圆+一√51有公共点，两边平方得(x-1)z+(+2)z≥，故有≤l'即+5≥．≥．故原来函数有最小值-2=4_解得一号0一0≤a≤一_；0_+0．．变用三若R是一个正常数，则所以

9、∈[一号一，一号+]．小于R、等于R、大于R分别表示利用点到直线距离公式的变形，解决最值或参数取值范围问题的时候，可以起到形象直直线ax@by@c=O与定圆(x-x。)+(y-~-y。)观、化繁为简的效果，有助于培养发散思维，提一R。相交、相切、相离的位置关系．高创新意识．例5已知方程组x+yZ=1,求证：(责审余炯沛)．．。．~tlk：zxss．cbpt．