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1、直纹面和可展曲面一直纹面的定义由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面。这些直线称为直纹面的直母线。如，柱面、锥面、单叶双曲面（纸篓面)、双曲抛物面。空间曲线的切线曲面、正螺面、空间曲线的主法线曲面等都是直纹面。二直纹面的参数表示O(C)在直纹面上取一条与所有直母线都相交的曲线（C），其参数表时为，这样的曲线称为直纹面的导线。设是过导线（C）上点的直母线上的单位向量，导线（C）上点到直母线上任一点P(u,v)的距离为
2、v
3、,则向径可以表示为:。这就是直纹面的参数方程。直纹面的v-线是直母线，u-线是与导线（C）平行的曲线。三直
4、纹面的切平面对直纹面,,,，‖。（1）若不平行于，即，则当P56点在一条直母线上移动时，参数v随P点的变化而变化，因此直纹面的法向量（或切平面）绕直母线而旋转。（2）若平行于，即，则当P点在一条直母线上移动时，虽然v变化了，但是只改变长度，不改变方向。也即保持不变。这说明当P点沿直母线移动时，它的法向量（或切平面）不变，此时直纹面沿一条直母线有同一个切平面。四直纹面的高斯曲率对于直纹面,。所以曲面在P点沿方向的法截线就是直母线，故曲率为零。据梅尼埃定理,因此在P点沿的法曲率.据前面的讨论,只当P点是双曲点或抛物点时才可
5、能出现的情况。这说明直纹面上的高斯曲率。下面将指出，当时，，当时。由直纹面的方程得，，。，L=……，，，所以当时，，当时。因沿直母线总有，故直母线是直纹面的渐近线。五腰曲线1腰点的定义：设为过导线上点的直母线，是过导线上的邻近点的直母线，作56和的公垂线（如图），垂足分别为M和，公垂线的垂足M当时沿直母线趋于极限位置,点称为直母线上的腰点。2腰点的向径表达式垂足M和对应的向径分别是M：，：，由此得，又因，所以。将带入得：，两边除以，取极限令得：，所以，把它带入得腰点的向径表达式：………………（＊）3腰曲线的定义：在直纹
6、面的每一条直母线上（假如）有一个腰点，这些腰点的轨迹叫做腰曲线。说明：（1）（＊）为对应参数为u的直母线上腰点的向径，当u变动时就得到所有直母线上的腰点的向径。因此（＊）表示了所有腰点构成的轨迹曲线。所以（＊）就是腰曲线的参数方程。（2）若取腰曲线为导线，则（＊）中腰曲线的向径，于是可得；反之，若，可知腰曲线为导线。即有结论：腰曲线是导线，即。（3）腰曲线的几何意义:它沿直母线的狭窄部位“围绕”着直纹面。564.2可展曲面一可展曲面的定义定义把直纹面中满足的曲面叫做可展曲面。推论直纹面可展的充分必要条件是沿直纹面的每一
7、条直母线只有一个切平面。说明（1）有的书上就是以推论的条件定义可展曲面的，而把作为一个充要条件。（2）确实有沿同一直母线其切平面不是同一个的直纹面，如正螺面、单叶双曲面、双曲抛物面等，他们都不是可展曲面。二可展曲面包含的曲面命题1每一个可展曲面或是柱面或是锥面，或是一条曲线的切线曲面。证明设为可展曲面，则。我们取腰曲线为导线，此时。（1）=常向量。表明腰曲线退化为一点，也就是说，各条直母线上的腰点都重合。所以曲面是以腰点为顶点的锥面。（2）时，由条件，所以共面，又，而，所以。‖，这时可展曲面是=56，可知这是导线（腰曲
8、线）的切线曲面。如图（3），则=常向量。这表示柱面。如上图。说明：命题的逆命题也成立。即：每一个柱面、锥面、任一条曲线的切线曲面一定是可展曲面。证明留做习题。三单参数曲面族的包络定义给出一个单参数曲面族：，其中是参数，当的值变化时，我们就得到族中不同的曲面，并且假定函数具有一阶与二阶的连续偏导数。如果有一个曲面S，它的每一点是{}族中一个曲面的点，而且在S与的公共点它们有相同的切平面;另一方面，对{}族中每一个曲面，在曲面S上有一点，使与S在公共点有相同的切平面，则称S是单参数曲面族{}的包络。例如,到z轴距离是1的平
9、面，所有这样的平面构成一个单参数的曲面族（实际是平面族），就是这平面族的包络。四单参数曲面族包络的方程结论：设：为单参数曲面族，每个56上的点都是正常点。若曲线族构成曲面S，则S为{}包络。从曲线族方程消去得S的方程：。证明对S上任一点P(x,y,z),则存在某个，P在上。即P在曲面族{}中曲面上，且=0。反过来，对{}中每个，则在上。因S由所有构成的，所以也在S上。在其上任取一点P,P是上的点，也是S上的点。设{dx,dy,dz}是S在P点的任一切向量,设P在上：,两边求微分得，因，所以，这说明是S在P点的法向量（因
10、所有切向量与它垂直）（注：不全为零时P为正常点).而也是在P点的法向量。这说明在P点，S与有相同的切平面。以上两方面证明了S是{}的包络。因P是上任一点,所以以上说明了S与沿着这条曲线相切。定义设S是单参数曲面族{}的包络，则S与族中的曲面相切的曲线称为特征线。可知,固定时，是特征线方程.56特征线的轨迹就是包络.每个曲面沿特征线
