有限差分法、边界元法和离散元法.doc

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1、有限差分法已经发展的一些近似数值分析方法中，最初常用的是有限差分法，它可以处理一些相当困难的问题。但对于几何形状复杂的边界条件，其解的精度受到限制，甚至发生困难。作为60年代最重要的科技成就之一的有单元法。在理论和工程应用上都_得到迅速发展，几乎所有用经典力学解析方法难以解决的工程力学问题郁可以用有限元方法求解。它将连续的求解域离散为一组有限个单元的组合体，解析地模拟或逼近求解区域。由于单元能按各种不同的联结方式组合在一起，且单元本身又可有不同的几何形状，因此可以适应几何形状复杂的求解域。相限元的另一特点是利用每一单元内假设的近似函数来表示全

2、求解区域上待求的未知场函数。单元内的近似函数由未知场函数在各个单元结点上数值以及插值函数表达，这就使未知场函数的结点值成为新的未知量，把一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题，只要结点来知量解出，便可以确定单元组合体上的场函数。随着单元数目的增加，近似解收敛于精确解。但是有限元方法常常需要很大的存贮容量，甚至大得无法计算；由于相邻界面上只能位移协调，对于奇异性问题(应力出现间断)的处理比较麻烦。这是有限单元法的不足之处。边界元法边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的工程数值分析方法。与有限元法在连续体域内划分单元的基本思

3、想不同，边界元法是在定义域的边界上划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。降低了问题的维数，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数，而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提，对于非均匀介质等问题难以应用，故其适用范围远不如有限元法广泛，而且通常由它建立的求解代数方程组的系数阵是非对称满阵，对解题规模产生较大限制。上述两种数值方法的主要区别在于，边界元法是“边界”方法，而有限

4、元法是“区域”方法，但都是针对连续介质而言，只能获得某一荷载或边界条件下的稳定解。对于节理裂隙发育的岩体或颗粒散体的处理则要麻烦得多，更无法进行大变形、分离、回转及塌落过程的模拟。这就使得人们去探索和寻求适合模拟节理岩体和颗粒散体运动变形特性的有效数值方法。离散元法离散元法是由CundallPA(1971)首先提出并应用于岩土体稳定性分析的一种数值分析方法。它是一种动态的数值分析方法,可以用来模拟边坡岩体的非均质、不连续和大变形等特点,因而,也就成为目前较为流行的一种岩土体稳定性分析数值方法。该方法在进行计算时,首先将边坡岩体划分为若干刚性块

5、体(目前已可以考虑块体的弹性变形),以牛顿第二运动定律为基础,结合不同本构关系,考虑块体受力后的运动及由此导致的受力状态和块体运动随时间的变化。它允许块体间发生平动、转动,甚至脱离母体下落,结合CAD技术可以在计算机上形象地反应出边坡岩体中的应力场、位移及速度等力学参量的全程变化。该方法对块状结构、层状破裂或一般碎裂结构岩体比较适合。caoyb19822009-05-2409:09的数值方法有很多，可以分为两大类：一类是连续介质力学数值方法，另一类是非连续介质力学数值方法。其中连续介质力学数值方法将岩体简化成数学意义上的连续体来进行分析，主要

6、有：有限差分法、有限元法、边界元法、无单元法等等。!Hq$7j_ 有限差分法（FiniteDifferenceMethod，FDM）是求解偏微分方程的最重要的数值方法之一，其主要思想是将微分方程近似地用相应的差分方程来替代，从而将求解偏微分方程的问题转化为求解代数方程组的问题。,Tak', 有限元分析（finiteelementanalysis，fea）是使用有限元方法来分析静态或动态的物理物体或物理系统，是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的)近

7、似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件)，从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。然而，当岩体中存在着大量结构面时，将为上述接触单元和接触模型的使用带来困难，处理连续介质力学的有限单元法对于需要考虑大量结构面的非连续介质力学问题如岩石边坡稳定等，就显现出其局限性。3,`I>No 边界积分方程－边界元法（BoundaryIntegralEquation-Boundary

8、ElementMethod）简称边界元法（BEM）是继有限元之后发展起来的一种有效的数值分析方法。其基本思想是以边界积分方程为数学基础，同时采用与有限元法类似的离散