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1、第13章控制系统的根轨迹分析主要内容控制系统的根轨迹分析图形化根轨迹法分析与设计13.1控制系统的根轨迹法分析13.1.1根轨迹及根轨迹法概述以绘制根轨迹的基本规则为基础的图解法是获得系统根轨迹是很实用的工程方法。通过根轨迹可以清楚地反映如下的信息：临界稳定时的开环增益；闭环特征根进入复平面时的临界增益；选定开环增益后，系统闭环特征根在根平面上的分布情况；参数变化时，系统闭环特征根在根平面上的变化趋势等。13.1.2MATLAB根轨迹分析的相关函数MATLAB中提供了rlocus()函数，可以直接用于
2、系统的根轨迹绘制。还允许用户交互式地选取根轨迹上的值。其用法见表13.1。更详细的用法可见帮助文档rlocus(G)rlocus(G1,G2,...)rlocus(G,k)[r,k]=rlocus(G)r=rlocus(G,k)绘制指定系统的根轨迹绘制指定系统的根轨迹。多个系统绘于同一图上绘制指定系统的根轨迹。K为给定增益向量返回根轨迹参数。r为复根位置矩阵。r有length(k)列，每列对应增益的闭环根返回指定增益k的根轨迹参数。r为复根位置矩阵。r有length(k)列，每列对应增益的闭环根[K,
3、POLES]=rlocfind(G)[K,POLES]=rlocfind(G,P)交互式地选取根轨迹增益。产生一个十字光标，用此光标在根轨迹上单击一个极点，同时给出该增益所有对应极点值返回P所对应根轨迹增益K，及K所对应的全部极点值sgridsgrid(z,wn)在零极点图或根轨迹图上绘制等阻尼线和等自然振荡角频率线。阻尼线间隔为0.1，范围从0到1，自然振荡角频率间隔1rad/s，范围从0到10在零极点图或根轨迹图上绘制等阻尼线和等自然振荡角频率线。用户指定阻尼系数值和自然振荡角频率值13.1.3M
4、ATLAB根轨迹分析实例例1：若单位反馈控制系统的开环传递函数为绘制系统的根轨迹。程序如下：clf;num=1;den=conv([110],[15]);rlocus(num,den)%绘制根轨迹axis([-88-88])figure(2)r=rlocus(num,den);%返回根轨迹参数plot(r’,‘-’)%绘制根轨迹，注意r要用转置axis([-88-88])gtext('x')%鼠标放置一个文本到图上gtext(‘x’)%鼠标确定文本的左下角位置gtext('x')(a)直接绘制根轨迹(
5、b)返回参数间接绘制根轨迹图13.2例1系统根轨迹例2：若单位负反馈控制系统的开环传递函数为，绘制系统的根轨迹，并据根轨迹判定系统的稳定性。num=[13];den=conv([11],[120]);G=tf(num,den);rlocus(G)figure(2)%新开一个图形窗口Kg=4;G0=feedback(tf(Kg*num,den),1);step(G0)图13.3例2系统根轨迹分析：由根轨迹图13.3，对于任意的Kg，根轨迹均在s左半平面。系统都是稳定的。可取增益Kg=4和Kg=45并通过
6、时域分析验证。下图分别给出了Kg=4时和Kg=45时系统的单位阶跃响应曲线。可见，在Kg=45时因为极点距虚轴很近，振荡已经很大。(a)时系统时域响应曲线(b)时系统时域响应曲线图13.4例2系统时域响应曲线例3：若单位负反馈控制系统的开环传递函数为绘制系统的根轨迹，确定当系统稳定时，参数的取值范围。clear;num=[10.5];den=conv([132],[150]);G=tf(num,den);K=0:0.05:200;rlocus(G,K)[K,POLES]=rlocfind(G)figu
7、re(2)Kg=95;t=0:0.05:10;G0=feedback(tf(Kg*num,den),1);step(G0,t)图13.5例3系统根轨迹Selectapointinthegraphicswindowselected_point=-0.0071+3.6335iK=95.5190POLES=-7.4965-0.0107+3.6353i-0.0107-3.6353i-0.4821图13.6例3系统时的阶跃响应分析：由根轨迹图13.5，结合临界稳定值可知，系统稳定时，临界稳定时的阶跃响应曲线如图
8、13.6。例4:若单位反馈控制系统的开环传递函数为绘制系统的根轨迹，并观察当时的值。绘制时的系统单位阶跃响应曲线。clear;num=[1];den=[120];G=tf(num,den);rlocus(G)sgrid(0.707,[])%画等阻尼系数线[K,POLES]=rlocfind(G)运行结果：图13.7例4系统根轨迹Selectapointinthegraphicswindowselected_point=-0.9964+0.9829iK=1
