河北师范大学数学分析习题集Ch3.pdf

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1、1．设函数f在(ab,)上连续，则fx()在(ab,)上一致连续的充要条件为limfx(),limfx()都存在。+−x→ax→baaa1232．证明：方程++=0。x−λx−λx−λ123（其中aaa,,>0,λ<λ<λ在(λλ,)和(λλ,)上各有根。）12312312233．若函数f在[ab,]上连续，a0在[a+ε,b−ε]上连

2、续，问：（1）fx()在(ab,)上是否连续；（2））fx()在[ab,]上是否连续？5．若函数f在[ab,]上连续，证明下列结论：（1）若对一切有理数r∈[ab,]却有fr()=0,则在[ab,]上fx()≡0。（2）若对[ab,]上任意两个有理数rrr,(

3、f

4、和f是否都连续？反之如何？−c,fx()<−c;7．若函数f连续，证明对任何c>0，函数gx()=fx(),

5、()

6、fx≤c;是连续函数。c,fx()>c;8．若函数fx()和gx()

7、都连续，则max{fxgx(),()}和min{fxgx(),()}也连续。9．证明以下函数在响应点集内一致连续。3（1）fx()=x在[0,1]上；（2）fx()=sinx在(−∞+∞,)上。210．证明函数fx()=sinx在(−∞+∞,)上不一致连续。11．设函数fx()在[ab,]上连续，且fab([,])⊂[ab,]，证明存在x∈[ab,]使得fx()=x。12．设函数fx()在(ab,)上连续，且fa(+0)=fb(−0)=+∞，则fx()在(ab,)内能取得最小值。