高效循环移位算法.doc

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1、要求：设计一个算法，把一个含有N个元素的数组循环右移K位，要求时间复杂度为O（N），且只允许使用两个附加变量。不合题意的解法如下：我们先试验简单的办法，可以每次将数组中的元素右移一位，循环K次。abcd1234→4abcd123→34abcd12→234abcd1→1234abcd。版本1void RightShift(char *arr, int N, int k){    while(k--)    {        char t = arr[N-1];        for(int i = N-1; i > 0; i--)            ar

2、r[i] = arr[i-1];        arr[0] = t;    }}虽然这个算法可以实现数组的循环右移，但是算法复杂度为O（K * N），不符合题目的要求，需要继续往下探索。分析与解法假如数组为abcd1234，循环右移4位的话，我们希望到达的状态是1234abcd。不妨设K是一个非负的整数，当K为负整数的时候，右移K位，相当于左移（-K）位。左移和右移在本质上是一样的。【解法一】大家开始可能会有这样的潜在假设，K

3、的，K可能是一个远大于N的整数，在这个时候，上面的解法是需要改进的。仔细观察循环右移的特点，不难发现：每个元素右移N位后都会回到自己的位置上。因此，如果K > N，右移K-N之后的数组序列跟右移K位的结果是一样的。进而可得出一条通用的规律：右移K位之后的情形，跟右移K’= K % N位之后的情形一样。版本2void RightShift(char *arr, int N, int k){    k %= N;    while(k--)    {        char t = arr[N-1];        for(int i = N-1; i > 0

4、; i--)            arr[i] = arr[i-1];        arr[0] = t;    }}可见，增加考虑循环右移的特点之后，算法复杂度降为O（N２），这跟K无关，与题目的要求又接近了一步。但时间复杂度还不够低，接下来让我们继续挖掘循环右移前后，数组之间的关联。【解法二】假设原数组序列为abcd1234，要求变换成的数组序列为1234abcd，即循环右移了4位。比较之后，不难看出，其中有两段的顺序是不变的：1234和abcd，可把这两段看成两个整体。右移K位的过程就是把数组的两部分交换一下。变换的过程通过以下步骤完成：1.  

5、逆序排列abcd：abcd1234→ dcba1234；2.  逆序排列1234：dcba1234→ dcba4321；3.  全部逆序：dcba4321→1234abcd。版本3Reverse(char *arr, int b, int e){    for(; b < e; b++, e--)    {        char temp = arr[e];        arr[e] = arr[b];        arr[b] = temp;    }}RightShift(char *arr, int N, int k){    k %= N; 

6、   Reverse(arr, 0, N-k-1);    Reverse(arr, N-k, N-1);    Reverse(arr, 0, N-1);} 《编程之美》中的题目要求只使用两个附加变量。王晓东编著的《算法设计与实验题解》中要求只用到O(1)的辅助空间。其它地方两本书的要求相同，都是O(n)的时间复杂度。两本书中的解法总结起来就是三种方法：（1）循环换位算法（2）三次反转算法（3）排列循环算法。这三种算法在王晓东的著作中都有实现代码。第一种算法是最原始的算法。第二种算法比较巧妙，即使用VU=reverse(reverse(U)reserve

7、(V))，写成数学形式就是： 。于是使用三次反转也可实现。第三种方法与数学有较大关系，以下着重解释第三种方法，借此复习一下数学。对于第三种方法，王晓东老师在著作中介绍了一条循环置换分解定理：对于给定数组A[0..N-1]向后循环换位N-K位运算，可分解为恰好gcd(K,N-K)个循环置换，且0,...,gcd(K,N-K)-1中的每个数恰属于一个循环置换。其中gcd(x,y)表示x和y的最大公因数。我们从头开始分析这个问题，对于数组A[0..n-1]，要将其向后循环移动k位元素。因为每个元素右移n位后又回到了原来的位置上，所以右移k位等于右移kmodn位。

8、考虑每个元素右移k位后的最终位置，比如对于A[0]，右移k位后在k