《近自由电子近似》PPT课件.ppt

《《近自由电子近似》PPT课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、一、何谓近自由电子近似（NearlyFreeElectron）在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子的运动就几乎是自由的。因此，我们可以把自由电子看成是它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来求解。（也称为弱周期场近似）。这个模型虽然简单，但却给出周期场中运动电子本征态的一些最基本特点。何谓近自由电子近似定性描述微扰计算见黄昆书4.2节p1576.2一维周期场中电子运动的近自由电子近似晶体中的电子感受到的一维晶格周期势场见于Omar书p197见于Kittel书p118二.近自由电子（NFE）模型

2、的定性描述在NFE模型中，是以势场严格为零的Schrödinger方程的解（即电子完全是自由的）为出发点的，但必须同时满足晶体平移对称性的要求，我们称之为空格子模型。在一维情况下，空格子模型中的态函数和能量表达式为：上式中的0表示是未受微扰的解。自由电子的能量和波矢关系是抛物线，但考虑到平移对称性的要求，它被Brillouin区边界截成多段，可以平移倒易基矢的整数倍，以便让任意两个等效点的能量相同。空格模型的能量波矢关系：自由电子的k取值范围是没有限制的，能量取值范围也是无限制的。晶体中的波矢k只能在第一Brillouin区内取值。能量可以通过一个k值对应多个

3、能量值来包容。当考虑微弱的周期势场影响时，空格子能谱的明显变化只发生在Brillouin区区心和边界处，原先相互连接的，现在分开了，出现了一个能隙，也就是说，在这些点上，能谱的形状受到弱晶体势场的修正。（实际上，晶体势的作用是使空格子模型中能带结构中的尖角变得平滑了。）在区域的其它部分，能谱的形状受到的影响很小，基本保持了空格子模型的抛物线形式。见下图。所以说近自由电子近似下晶体电子的能级区分成为电子可以占据的能带以及不能占据的禁带。弱周期势场对能带的影响：以上参照Omar一书整理空格模型的能量波矢关系：空格模型的能量波矢关系：“在晶格常数为a的一维晶格中，当

4、周期势振幅为0时能量与波矢关系图。此时能量是波矢的连续函数。在第一布里渊区（简约区）图像中，能量是波矢的多值函数”弱周期势场对能带的影响：能隙“在晶格常数为a的一维晶格中，当周期势振幅有限时，简约区与扩展区的能量与波矢关系图。仅可以在阴影区可以建立性质良好的非定域波函数。这些阴影区是导带，分隔导带的是能量禁带”Ashcroft一书p160关于一维带隙的说明自由电子能量波矢关系Brillouin边界处的简并弱周期势的影响Brillouin边界处的分裂扩展区形式简约区形式周期形式周期性势场：a为晶格常数作Fourier展开：其中——势能平均值视为常数根据近自由电子

5、模型，Un为微小量。电子势能为实数，U(x)=U*(x)，得Un*=U-n。三、微扰计算：考虑长度的一维晶体1.非简并微扰这里，单电子哈密顿量为：零级近似代表周期势场的起伏作为微扰项处理分别对电子能量E(k)和波函数(k)展开将以上各展开式代入Schrödinger方程中，得零级近似方程：能量本征值：相应的波函数：正交归一性：一级微扰方程：令代入上式两边同左乘并积分得当k’=k时，当k’k时，由于一级微扰能量Ek(1)＝0，所以还需用二级微扰方程来求出二级微扰能量，方法同上。令代入二级微扰方程中可求得补充：按照量子力学一般微扰理论的结果，本征值的一、二级修

6、正项为：波函数的一级修正为：以上见黄昆书p158,有类似的微扰推导二级微扰能量：这里＝{Un当k’＝k+2n/a0当k’k+2n/a于是，求得电子的能量为电子波函数为其中容易证明uk(x)＝uk(x+a)，是以a为周期的周期函数。可见，将势能随位置变化的部分当作微扰而求出的近似波函数的确满足Bloch定理。这种波函数由两部分组成：第一部分是波数为k的行进平面波第二部分是该平面波受周期场的影响而产生的散射波。因子是波数为k’＝k+2n/a的散射波的振幅。在一般情况下，由各原子产生的散射波的位相各不相同，因而彼此相互抵消，周期场对行进平面波的影响不大，散射

7、波中各成分的振幅均较小，可以用微扰法处理。但是，如果由相邻原子所产生的散射波（即反射波）成分有相同的位相，如行进平面波的波长＝2/k正好满足条件2a＝n时，相邻两原子的反射波就会有相同的位相，它们将相互加强，从而使行进的平面波受到很大干涉。这时，周期场的影响就不能当作微扰了当时，即散射波中，这种成分的振幅变得无限大，一级修正项太大，微扰不适用了。由上式可求得或这实际上是Bragg反射条件2asin＝n在正入射情况（sin＝1）的结果。2.简并微扰当时，非简并微扰已不适用。这正是布里渊区边界方程。也就是说，在布里渊区边界上这时，这两个态的能量相等

8、，为简并态。必须用简并微扰来处理。可以