《高等数学》(北大第二版 )第01章习题课.ppt

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1、第一章求（证）极限的主要方法极限知识是微积分学和其它高等数学内容和学科的基础，是研究导数、各种积分、级数、复变函数、积分变换，……等的基本工具，既是学习的重点、又是难点，应充分重视.一、内容小结本章内容统称为极限论（或分析引论），应包括四个部分：映射、函数、极限与连续.同学们在初等数学里已学过映射和函数知识，在高等数学里仅作复习和补充；而连续可作为一种特殊的极限,它的内容又容易一些；所以复习本章应以极限内容作为核心部分来展开.二、求极限的方法2.利用极限的运算法则求极限；1.用定义证明极限式；3.利用极限存在准则证明极限的存在性；4.用夹逼定理求极限；5.利用“无穷小量与有界变量

2、的乘积是无穷小量”；6.利用两个重要的极限；7.利用“洛必达法则”，导数定义，定积分定义等求极限.当无穷小量定义若时,函数则称函数例如:函数当时为无穷小量;函数时为无穷小量;函数当为时的无穷小量.时为无穷小量.例1.求函数的定义域.((0,2])例2.已知解[关键在于求出f(u)的表达式.]令三、综合例题例3设求解:例4下列各种关系式表示的y是否为x的函数?为什么?不是是不是提示:(2)例5.求极限：解例6求极限解则有若例7因为例8.求极限解[本题可分子，分母同除以相同的因式后，再求极限.]例9.求极限解[采用与通分相反的变形法----分解为简单分式（或部分分式），再用正、负相抵

3、消变简单.]思考题求下列极限：(1)（2）例11.求极限解例12求解[先有理化，后求极限]例13已知解[这类逆向思维的问题，需用分析法解之]思考题设解:利用前一极限式可令再利用后一极限式,得可见是多项式,且求故例14求解[找出两边夹的式子，用夹逼准则求之]则有即例15求解:令则利用夹逼准则可知思考题解[这类由递推式表示数列通项的极限，须先用单调有界法则证明极限存在；然后才能对等式两边取极限，并用解方程的办法去求极限]证并求出该数列的极限.对等式两边取极限，得解方程，得a=2或a=-1(舍去）例16例17又f(0)=a,要使f(x)在x=0处连续，由函数在一点连续的定义，有即就是a

4、=b.解[求分段函数分段点处的连续性，要考察左、右极限及分段点的函数值.]例18证由零点定理，即方程f(x)=0至少有一个实根，f(x)=0的两个根，故任何奇次方程至少有一个实根.例19证两式相加由闭区间上中间值存在一点例20解当x=1时,f(x)无定义,且习题解答习题1-3证根据数列极限定义，虽有反例：要证明：证总有习题1-4解(1)(2)并求出该数列的极限.证对等式两边取极限，得解方程，得a=2或a=-1(舍去）习题解答：习题1-39.证明证在前面讨论的有界性时已经证明于是下面证明（其中k为为任意固定的自然数）若k为任意固定正数，则当n>k时，有取极限，得将k换成n,得于是结

5、合（*）得所证明.