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1、§1对弧长的曲线积分（又称第一类曲线积分）第十二章曲线积分与曲面积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质1.引例：求曲线形构件的质量。设一曲线形构件位于xoy平面上的一段曲线弧L上,线密度ρ(x,y)为L上的连续函数，求该曲线形构件的质量M。光滑曲线----具有连续转动切线的曲线。xyAB思想方法：(1)分割：插入分点：设每一小弧段长(2)取近似：则小弧段质量：(3)求和：(4)取极限:2、定义设L为xoy平面内的一条光滑曲线弧段，M1,M2,…,Mn-1把L分成若和式的极限则称此极限值为f(x,y)在曲线弧
2、L上对弧长的曲线积分。函数f(x,y)在L上有界，用L上的任意点也称为第一类曲线积分。记作L—积分弧段（积分路径）ds—弧元素说明:(1)f(x,y)在L上连续,则曲线积分必存在。(2)f(x,y)虽为二元函数,但点(x,y)被限制在L上,变量x,y不独立,须满足曲线L的方程。(3)若L是光滑闭曲线,常记成(4)推广到空间曲线Γ,有3.性质(与定积分性质相仿)(3)若L是分段光滑的曲线段，即(4)设在L上，则(5)(积分中值定理)设f(x,y)在L上连续，则必存在使得其中l为L的长度。第一类曲线积分的对称
3、性(1)如曲线L关于y轴对称，L1是L的部分，(2)若交换x,y两变量时，L的方程不变，则------轮换对称性二、对弧长的曲线积分的计算法定理:且L的参数方程为：则曲线积分存在，且说明:ds——弧元素(弧微分)(1)(2)(3)(4)(5)上述所有计算公式中，等式右边的定积分的积分下限都必须小于上限。一段弧(如图).例1:ABA(0,a),解：法一：选x为积分变量，L：xya一段弧(如图).法二：选y为积分变量，L：ABxya一段弧(如图).法三：L用参数方程表示:ABxyaxy122例2：AB解：o例
4、3：解：L利用极坐标。a例4：解：因为L关于x轴对称，2xy关于y是奇函数，三、几何与物理意义密度在L上连续，设平面曲线形的物件所占的平面曲线弧段为L，且它的线密度为则：它的质量它的质心坐标(3)若线例5.的质心坐标。a2a解：由对称性，.xy0课外作业习题12—1(A)1(3),2习题12—1(B)1(1,4)§2.对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例:求变力沿曲线所作的功。常力作功:变力作功,力f(x)的方向与运动方向一致,思想方法:(元素法)xyAB(1)插入分
5、点M1(x1,y1),…,Mn-1(xn-1,yn-1),n个有向小弧段M1Mn-1Mi-1Mi将L任意分成设一质点在xoy面内沿光滑曲线弧L从A移动到的作用，其中P,Q在B。移动过程中，这质点受到变力L上连续。现计算在上述移动过程中变力所作的功。xyABMi-1Mi(2)则由常力:近似代替则(3)(4)取极限2、定义设L为xoy平面上从点A到B的一条有向光滑曲线,函数P(x,y)、Q(x,y)在L上有界。分成n个有向小弧段则称此极限值把L为函数P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分,记作同理,则
6、称此极限值为函数Q(x,y)在有向曲线弧常用其组合形式：统称为第二类曲线积分。L上对坐标y的曲线积分,记作说明：1)P(x,y),Q(x,y)中的x,y受L的限制而相互有关。2)对坐标的曲线积分与积分路径的方向有关。3)前述变力作功(有向弧元素)变号4)对空间曲线L,有5)在L上连续,则此曲线积分必存在。3、性质(1)设有向曲线L,—L与L方向相反,则有:(2)其余性质类似于对弧长的曲线积分。注：第一类曲线积分没有这一性质。第二类曲线积分的对称性如曲线L关于y轴对称，L1是L的部分，方向不变，二、对坐标的
7、曲线积分的计算法设曲线L由参数方程一阶连续导数,且又函数P(x,y),Q(x,y)在L上连续,L的起点A终点B描出有向曲线LAB,起点A(x=a),终点B(x=b)f(x)在[a,b]或[b,a]上有连续导数,则特例：起点A(y=c),终点B(y=d)g(y)在[c,d]或[d,c]上有连续导数,则空间曲线Γ:起点A终点B例1.(1)L:圆心为原点,半径为1,按逆时针方向绕行的上半圆周。xyAB1-1解：(2)L:直线AB.xyAB1-1解：=0.(3)L:折线ACB.xyABC1-1解：100-1路径不
8、同,值不同。例2.(1)(2)Axy10101=1.Axy1B(3)0101路径不同,值却相同。例3.Γ:由点(1,1,1)到点(2,3,4)的直线段。解：求Γ的方程。Γ的方向向量：Γ的方程：其参数式：(t+1)d(t+1)+(2t+1)d(2t+1)+[(t+1)+(2t+1)-1]d(3t+1)0123]dt=13.例4.计算其中由平面y=z截球面解:故原式=从z轴正向看沿逆时针方向.因在上有三、两类曲线积分之间的联系
