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1、第一章基本概念§1•集合】•BczA,但月不是力的真子集，这个悄况什么炯候才能出现？解由题设以及真子集的定义得，虫的每一个元都屈于B,因此AuB.于是由BuAAczB得A^B・所以上述悄况在A=B时才能出现.2.假定AuB,yinB=?AU5=?解（i＞由于AuB，所以力的每一个元都属于即乂的每一个元都是N和B的共同元，因而由交集的定义得.Muzi但显然有ACBuA所以A[B-A（i；）由并集的定义，A）B的每一元素都属于力和Z?之一）但AuB,所以ASB的每一元素都属于民另一方面BcXUB＞所以§2•映射1.A={1,2,…，100}•找一个AxA到二的映射・解用（66）表示Ax
2、A的任意元素，这里a和b都属于么・按照定义做一个满足要求的映射即可，例如①$（a,b）a就是这样的一个，因为C桥力的任何元素（66）规定了一个唯一的象Q,而c读者应该门己再找几个AxA到虫的映射.2.在你为习题1所找到的映射之下，足不是虫的每一个元都是AxA的一个元的象？瞬在上面给出的映射Q之下，虫的毎一个元索都是AxA的一个元的象，因为3,6）中的a可以是/的任一兀素.你自己找到的映射的情况如何？有没冇出现力的元素不都是象的情况？假如没有，找一个这样的映射.§3・代数运算1.N={所有不等于零的偶数八找一个集合D,使得普通除法是/x虫到D的代数运算.是不是找得到-•个以上的这样的D?解一
3、个不等于零的偶数除一个不等于零的偶数所得结果总是一个不等于零的有理数.••’所以取D=｛所有不等于零的有理数｝普通除去就是一个AxA到D的代数运算.可以找得到一个以上的満足耍求的D.读者可以自己找几个.1.力=｛6b.ch规定力的两个不同的代数运算・解（i〉我们用运算表来给出力的一个代数运算：。abcaaaabaaacaaa按照这个表，通过o,对于力的任何两个元素都可以得出一个唯一确定的结果a来，而。仍属于力.所以o是力的一个代数运算.这个代数运算也可以用以下方式來加以描述O：(r,y)—(ii)同理->a对一切％,Ao:（工，y）一*x=xoy对一切x,y^A也是虫的一个代数运算.读者可
4、用列表的方法来给出这个代数运算•读者还应自己给出几个虫的代数运算・§4.结合律1.A=｛所有不等于零的实数｝•o是普通除法:aob=这个代数运算适合不适合结合律？解这个代数运算。不适合结合律.例如,当a=46=c=2(006)oc=(4o2)o2=可o2=y=1ao(60c)=40(2o2)=4o=4所以当a,b和c取上述值时(aob)oc丰ao(boc)1.虫=｛所有实数人代数运算os(d,b)a+26=aob适合不适合结合律？解读者可以用解上一题的方法来证明，所给代数运算不适合结合律.3.A-b,c}.由表abcaabcbbcaccab给出的代数运算适合不适合结合律？解所给代数运算。适
5、合结合律•为了得出这个结论，需要对元索a,b,。的27(=3彳)种排列(元素允许重复出现)加以验证・但是利用元素a的待性，可以把验证简化.仔细考察运算表，我们发现以下规律I对集合力的任意元素兀来说，都有aox=xoa=x由此得出，对于有a出现的排列，结合律都成立.这一点读者可以自己验证.还剩下。不出现的排列.这样的排列共有8<=23)种.我们在这里验证4种，其余4种读者可以自己验证.(bob)ob=cob-abo(bob)=boc=a所以(bob)ob=bo(bob)(bob)oc=coc=bbo(boc)=boa=b所以(bob)cc=bo(boc)(boc)ob=aob-bbo(cob
6、)=boa-b所以(boc)ob=bo(cob)(boc)oc=aoc=cbo(coc)=bob-c所以(boc)oc=bo(coc)§5.交换律1・虫=｛所有实数｝.。是普通减法「aob=a—b这个代数运算适合不适合交换律？解容易验证，当t=2时.aobboa所以这个代数运算不适合交换律.2.由表A={o,b,c,d}.所给的代数运算适合不适合交换律？要冋答这个问题，只须考察一下运算表，看一看关于主对角线对称的位置上，有没有不相同的元素.§6•分配律假定O,㊉是力的两个代数运算，并且㊉适合结合律,O,©适合两个分配律.证明(oiO&i)©(aO&1)©(atO&1)©(0206*)解(
7、5仙畑@心2)和20乩)(©(50孔)=G1O(&1©62)+60(山眇2)-(0]©02)©(^1®&2)=O6i@(a1®a2)G62=(0!0&1)®(a2O6i)®(OlO62)@(^2062)、§7.—一映射.变换1.｛所有〉0的实数｝.A=｛所有实数｝•找•1个Z与万间的一一映射.解（ptX—Ig;x对一切工€力是一个力与刁间的一一映射.首先，给了任一工€力，即任一大于0的实数兀，1口是一个实数，即lgr€X
