2017-2018学年北师大版九年级数学上册习题 小专题(六)　相似三角形的基本模型(教材变式).doc

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1、小专题(六)　相似三角形的基本模型(教材变式)模型1　X字型及其变形(1)如图1，对顶角的对边平行，则△ABO∽△DCO；(2)如图2，对顶角的对边不平行，且有另一对角相等，则△ABO∽△CDO.教材母题1：(教材P90T2)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O.找出图中的相似三角形，并说明理由．解：△ABO∽△CDO.理由如下：∵AB∥CD，∴∠OCD＝∠OAB，∠ODC＝∠OBA.∴△ABO∽△CDO.1．(许昌一模)如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，若DF＝2，则FC＝4．2．已知：如图

2、，∠ADE＝∠ACB，BD＝8，CE＝4，CF＝2，求DF的长．解：∵∠ADE＝∠ACB，∴180°－∠ADE＝180°－∠ACB，即∠BDF＝∠ECF.又∵∠BFD＝∠EFC，∴△BDF∽△ECF.∴＝，即＝.∴DF＝4.模型2　A字型及其变形(1)如图1，公共角所对应的边平行，则△ADE∽△ABC；(2)如图2，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，两个三角形有一条公共边，则△ACD∽△ABC.教材母题2：(教材P93T3)如图，P是△ABC的边AB上的一点．(1)如果∠ACP＝∠B，△ACP与△ABC是否相似？为什么？(2)如果＝，△ACP与△ABC是否相似？为什么

3、？如果＝呢？解：(1)△ACP∽△ABC.理由如下：∵∠ACP＝∠ABC，∠PAC＝∠CAB.∴△ACP∽△ABC.(2)＝时，△ACP∽△ABC.理由如下：∵∠PAC＝∠CAB，且＝，∴△ACP∽△ABC.由＝不能得到△ACP与△ABC相似．∵AC与CP的夹角为∠ACP，BC与AC的夹角为∠ACB，而∠ACP与∠ACB不相等，∴由＝不能得到△ACP与△ABC相似．3．如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是(D)A.＝B．∠B＝∠ADEC．∠C＝∠AEDD.＝4．(安徽中考)如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为(B)A．4B．

4、4C．6D．45．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AC＝10.四边形BDEF是△ABC的内接正方形(点D、E、F在三角形的边上)，则此正方形的面积是25．模型3　双垂直型直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.教材母题3：(教材P90T3)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D.(1)请指出图中所有的相似三角形；(2)你能得出AD2＝BD·DC吗？解：(1)△BAD∽△BCA∽△ACD.(2)能得出AD2＝BD·DC.理由如下：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝90°.∵AD⊥B

5、C，∴∠DAC＋∠ACD＝90°，∠BDA＝∠ADC＝90°.∴∠BAD＝∠ACD.又∵∠BDA＝∠ADC，∴△BAD∽△ACD.∴＝，即AD2＝BD·DC.6．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝3，则斜边AB的长为(B)A．3B．15C．9D．3＋37．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝9，BD＝4,那么CD＝6，AC＝3．　　模型4　一线三等角型(1)如图1，Rt△ABD与Rt△BCE的斜边互相垂直，则有△ABD∽△CEB.(2)如图2，若∠A＝∠DBE＝∠C，则有△ABD∽△CEB.8．(本溪中考)如图，已

6、知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB＝9，BD＝3，则CF等于(B)A．1B．2C．3D．49．如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，则AB的长为4．　　　10．(常州中考改编)如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90°.(1)求证：△ABE∽△DEF；(2)若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠D＝90°.∴∠ABE＋∠AEB＝90°.又∵∠BEF＝90°，∴∠AEB

7、＋∠DEF＝90°.∴∠ABE＝∠DEF.∴△ABE∽△DEF.(2)∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD，∴DF＝1，CF＝3.∵△ABE∽△DEF，∴＝，即＝.∴DE＝2.又∵ED∥CG，∴△EDF∽△GCF.∴＝.∴GC＝6.∴BG＝BC＋CG＝10.第4课时　黄金分割01　　基础题知识点1　黄金分割的概念1．如图，点C是线段AB的黄金分割点(AC