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1、圆锥曲线的参数方程椭圆的参数方程复习圆的参数方程1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:2.圆心为(a,b),半径为r的圆的参数方程:3.椭圆的标准方程：它的参数方程是什么样的？M如图,以原点为圆心,分别以a,b(a>b>0)为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作AN⊥Ox,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M,xOyANB设以Ox为始边，OA为终边的角为θ，点M的坐标是(x,y)。那么点A的横坐标为x，点B的纵坐标为y。由于点A,B均在角θ的终边上，由三角函数的定义有:y＝NM＝x＝ON
2、＝这是中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆的参数方程。常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长。在椭圆的参数方程中，通常规定参数θ的范围为
3、OA
4、cosθ＝acosθ，
5、OB
6、sinθ＝bsinθφOAMxyNB椭圆的标准方程:椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:xyO圆的标准方程:圆的参数方程:x2+y2=r2θ的几何意义是∠AOP=θPAθ椭圆的参数方程:是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.称为点M的离心角小结椭圆的标准方程：椭圆的参数方程：——离心角一般地：在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短
7、半轴长.a>b练习把下列普通方程化为参数方程.(1)(2)(3)(4)把下列参数方程化为普通方程练习O是坐标原点，P是椭圆上离心角为-π/6所对应的点，那么直线OP的倾角的正切值是.解：把代入椭圆参数方程可得P点坐标所以直线OP的倾角的正切值是:xyOM解：因为椭圆的参数方程为(为参数)，所以可设点M的坐标为由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为例1、如图，在椭圆上求一点M，使M到直线l：x+2y-10=0的距离最小.例1、如图，在椭圆上求一点M，(1)使M到直线l：x+2y-10=0的距离最小.yXO
8、A2A1B1B2F1F2ABCDYX例2、已知椭圆有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积。双曲线的参数方程AB'BOyxMA'以原点O为圆心,a,b(a>0,b>0)为半径分别作同心圆C1,C2.设A为圆C1上任一点,作直线OA,过A作圆C1的切线AA'与x交于点A',过圆C2与x轴的交点B作圆C2的切线BB'与直线OA交于点B'。过点A',B'分别作y轴,x轴的平行线A'M,B'M交于点M,设OA与OX所成角为φ(φ∈[0,2π),φ≠π/2,φ≠3π/2)求点M的轨迹方程,并说出点M的轨迹。研究双
9、曲线的参数方程AB'BOyxMA'•baoxy)MBA事实上(t是参数,t>0)化为普通方程,画出方程的曲线.表示什么曲线?画出图形.练习:4不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为则直线MA的方程为解得点A的横坐标为平行四边形MAOB的面积为由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关说明：⑴这里参数叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.⑵双曲线的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换.例3例4求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点所张的角
10、均为直角。A2A1BAyxO证明：设双曲线方程为取顶点A2(a,0),弦AB∥Ox，∴弦AB对A1张直角，同理对A2也张直角．MOyx·B·A例5已知双曲线，A，B是双曲线同支上相异两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P,求证：，解：设A，B坐标分别为则中点为M于是线段AB中垂线方程为将代入上式,∴(∵A，B相异)，例6求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数。抛物线的参数方程MFOYXA前面曾经得到以时刻t为参数的抛物线的参数方程:对于一般抛物线，怎样建立参数方程呢？以抛物线的普通方程为例，
11、其中p为焦点到准线的距离。设M(x,y)为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM为终边的角记作α显然，当α在内变化时，点M在抛物线上运动，并且对于α的每一个值，在抛物线上都有唯一的点M与之对应，因此，可以取α为参数来探求抛物线的参数方程.因为点M在α的终边上，根据三角函数定义可得由方程(α为参数)这是抛物线(不包括顶点)的参数方程.如果令则有（t为参数）(α为参数)当t=0时，上式表示的点正好就是抛物线的顶点(0,0),因此，当时，（t为参数）就表示整条抛物线．参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的
12、斜率的倒数．C练习例1如图，O为原点，A,B为抛物线上异于顶点的两动点，且OA⊥OB，OM⊥AB于M，求点M的轨迹方程．当点A,B在何位置时,ΔAOB面积最小？最小值是多少？练习已知椭圆C1:及抛物线C2:y2=6(x-3/2)；若C1∩C2≠φ，求m的取值范围。代入得cos2φ+4cosφ+2m-1=0所以t2+4t+2m-1=0在[-1,1]内有解；3已知A,B,C是抛物线y2=2px(p>0)
